корень 123

Задача: найти корень из 123 (то есть √123).

Что можно сказать на начале

• 123 = 3 × 41, в радикале нет квадратных множителей больше 1, поэтому √123 не упрощается дальше. То есть точная форма — просто √123.

Как получить приближённое значение (пошагово) Метод Ньютона для sqrt(123):

• Выбираем начальное приближение. Поскольку 11^2 = 121 < 123 < 12^2 = 144, возьмём x0 = 11.
• Шаг 1: x1 = (x0 + 123/x0)/2 = (11 + 123/11)/2 = (11 + 11.181818...)/2 = 122/11 ≈ 11.090909
• Шаг 2: x2 = (x1 + 123/x1)/2. Ниже число в виде примерно 11.090537. Точные вычисления дают ≈ 11.090537
• Шаг 3: x3 ≈ 11.090536506..., значения сходятся и уже на 6 знаках после запятой стабилизируются.

Итог

• Точная форма: √123
• Приближённое значение (до 5 знаков после запятой): √123 ≈ 11.09054
• Проверка (пример): 11.09054^2 ≈ 123.000, что соответствует искомому корню достаточно точно.

Замечание

• Корень из 123 может иметь и отрицательное значение как решение уравнения x^2 = 123, но обозначение √123 обычно обозначает положительный корень.