решите уравнение log2(x+3)=log4(4x-15)

Вот подробное решение задачи log2(x+3) = log4(4x-15).

1. Область определения

• Чтобы логарифмы существовали, нужно:
  • x + 3 > 0 ⇒ x > -3
  • 4x − 15 > 0 ⇒ x > 15/4 = 3.75
• Таким образом, допустимая область: x > 3.75.

2. Преобразование log4

• log4(4x − 15) можно записать через логарифм по основанию 2: log4(4x − 15) = log2(4x − 15) / log2(4) = log2(4x − 15) / 2.
• Тогда исходное уравнение становится: log2(x + 3) = (1/2) log2(4x − 15).

3. Упростим уравнение

• Умножим обе стороны на 2: 2 log2(x + 3) = log2(4x − 15).
• Применим свойство логарифмов: 2 log2(x + 3) = log2((x + 3)^2).
• Получаем: log2((x + 3)^2) = log2(4x − 15).

4. Приравниваем аргументы

• Так как логарифм по основанию 2 возрастает, можно приравнять аргументы: (x + 3)^2 = 4x − 15.
• Раскроем xổ: x^2 + 6x + 9 = 4x − 15 x^2 + 2x + 24 = 0.

5. Решение квадратного уравнения

• Дискриминант: D = 2^2 − 4·1·24 = 4 − 96 = −92 < 0.
• Следовательно, вещественных корней у этого уравнения нет.

6. Вывод

• В заданной области x > 3.75 вещественных решений нет.
• Значит, уравнение log2(x+3) = log4(4x−15) решений не имеет (для вещественных чисел).

Дополнительная заметка (для понимания): можно переписать через естественный логарифм и тот же вывод получить быстрее: логика даст те же условия (x+3)^2 = 4x − 15) и тот же дискриминант, дающий отсутствие вещественных корней.