Докажите что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом если уголы BAC=ACD и углы BCA=DAC

Дано выпуклый четырехугольник ABCD такой, что ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC. Необходимо доказать, что ABCD — параллелограмм. Пошаговое решение 1) Применим ASA к треугольникам BAC и ACD - В треугольнике BAC есть угол ∠BAC, в треугольнике ACD есть угол ∠ACD, они равны по условию. - В треугольнике BAC есть угол ∠BCA, в треугольнике ACD есть угол ∠DAC, они равны по условию. - Общая сторона AC одинакова в обоих треугольниках и является между этими двумя равными углами (ASA — две угла и заключенная между ними сторона). Отсюда треугольники BAC и ACD равны (конгруэнтны). Из этой конгруентности получаем, что соответствующие стороны и углы совпадают: - AB соответствует CD, поэтому AB = CD; - BC соответствует AD, поэтому BC = AD; - ∠ABC соответствует ∠CDA, и ∠ACB соответствует ∠CAD. 2) Из равенства соответствующих углов получаем параллельность BC ∥ AD Из конгруентности треугольников BAC и ACD имеем ∠ACB = ∠CAD. Эти углы образованы линиями BC и AD с общей линией CA как воспрещенным переносчиком (CA — общий плавник). Следовательно, по признаку равенства ветвей через одну и ту же секущую CA, линии BC и AD параллельны: BC ∥ AD. 3) Из равенства соответствующих углов получаем параллельность AB ∥ CD Из той же конгруентности имеем ∠ABC = ∠CDA. Теперь, используя только что установленное BC ∥ AD, можно заменить DA на BC в угле ∠CDA: угол ∠CDA равен углу между CD и BC. Тогда равенство ∠ABC (между AB и BC) и угла между CD и BC означает, что AB и CD образуют одинаковые углы с одной и той же прямой BC; поэтому AB ∥ CD. 4) Вывод У нас получились обе пары противоположных сторон параллельны: - BC ∥ AD и - AB ∥ CD. Значит, ABCD — параллелограмм. Дополнительное замечание Выполнение условий приводит к симметрии квадрилатера относительно диагонали AC: треугольники BAC и ACD конгруэнтны, следовательно диагональ AC служит осью симметрии квадрилятера, что и обеспечивает параллельность противоположных сторон.