сравните сумму квадратов двух произвольных действительных чисел и их удвоенное произведение

Дано два произвольных действительных числа x и y. Сравним S = x^2 + y^2 и P = 2xy.

• Рассмотрим разность S − P: S − P = x^2 + y^2 − 2xy = (x − y)^2.

• Поскольку квадрат любого вещественного числа неотрицателен, имеем (x − y)^2 ≥ 0. Следовательно: S − P ≥ 0 ⇒ x^2 + y^2 ≥ 2xy.

• Если x ≠ y, то (x − y)^2 > 0, значит S > P.

• Если x = y, то (x − y)^2 = 0, значит S = P.

Итог:

• Сумма квадратов двух действительных чисел всегда не меньше их удвоенного произведения: x^2 + y^2 ≥ 2xy.
• Равенство происходит только при x = y.