Задача: cos(2x) + sin^2(x) = 0,75 (то есть 3/4).
Пояснение и решение по шагам:
- Используем тригонометрическую идентичность
cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x).
Тогда:
cos(2x) + sin^2(x) = (1 - 2 sin^2(x)) + sin^2(x) = 1 - sin^2(x).
Следовательно, уравнение становится:
1 - sin^2(x) = 0,75.
- Решаем относительно sin^2(x)
sin^2(x) = 1 - 0,75 = 0,25 = (1/2)^2.
Значит,
sin(x) = ± 1/2.
- Решаем для x
sin(x) = 1/2:
x = π/6 + 2πk, или x = 5π/6 + 2πk.
sin(x) = -1/2:
x = 7π/6 + 2πk, или x = 11π/6 + 2πk.
Итак, общее решение:
x = π/6 + 2πk, 5π/6 + 2πk, 7π/6 + 2πk, 11π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
Альтернативный вариант (через cos):
cos^2(x) = 0,75, следовательно cos(x) = ±√0,75 = ±√3/2.
Это даёт те же корни: x = ±π/6 + 2πk, и x = π ± π/6 + 2πk, что приводит к тем же четырём значениям в промежутке [0, 2π): π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6.
Если нужен ответ в градусах:
x ∈ {30°, 150°, 210°, 330°} + 360°k, k ∈ Z.
Дополнительное примечание:
0,75 здесь означает 3/4. Если в вашей задаче принято писать через запятую как десятичную дробь, можно держать 0,75; если через дробь, то 3/4.
