одна окружность проходит через точку А и касается стороны BC остроугольного треугольника ABC вторая окружность проходит через точку C и касается стороны AB эти окружности…

Задача по геометрии с двумя окружностями, которые проходят через B и касаются сторон треугольника ABC.

Дано:

• Окружность ω1 проходит через A и B и касается стороны BC (тогда касательная к ω1 в точке B совпадает с линией BC).
• Окружность ω2 проходит через B и C и касается стороны AB (касательная к ω2 в точке B совпадает с линией AB).
• Эти окружности пересекаются в B и M (M — второй общий пункт).
• Дано AB = 8, BC = 10, CM = 7.

Часть A. Доказать подобие треугольников ABM и BCM

1. Так как ω1 касается BC в точке B и проходит через B и M, касательная к ω1 в точке B совпадает с линией BC. По теореме о касательной и секущей для ω1 имеем: угол между касательной BC и хордой BM равен углу в противоположной дуге, то есть ∠CBM = ∠BAM. (1)

2. Аналогично для ω2: касательная в точке B — это AB. Угол между AB и хордой BM равен углу, subtended by arc BM в ω2, то есть ∠ABM = ∠BCM. (2)

3. Из (1) имеем, что угол при A треугольника ABM равен углу при B треугольника BCM: ∠BAM = ∠CBM, значит угол A треугольника ABM равен углу B треугольника BCM.

4. Из (2) имеем, что угол при B треугольника ABM равен углу при C треугольника BCM: ∠ABM = ∠BCM.

5. Следовательно два треугольника ABM и BCM имеют два равных угла (AA-условие), значит они подобны. Соответствие вершин: A → B, B → C, M → M. В итоге стороны соотносятся как: AB ↔ BC, BM ↔ CM, AM ↔ BM.

Часть B. Найти AM при заданных числах

Из соотношений подобия получаем:

• AB/BC = BM/CM = AM/BM.

Сначала введём отношение AB/BC:

• AB/BC = 8/10 = 4/5.

1. BM/CM = AB/BC = 4/5, значит BM = CM · 4/5 = 7 · 4/5 = 28/5.

2. AM/BM = AB/BC = 4/5, значит AM = BM · 4/5 = (28/5) · (4/5) = 112/25.

Ответ: AM = 112/25 = 4,48.