В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре…
В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии - 18 человек, по тригонометрии - 18 человек.По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии - 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учеников решило 3 задания?
Задача про объединение трёх множеств A (алгебра), B (геометрия), C (тригонометрия).
- Обозначим:
- x = число людей, решивших все три задачи: |A ∩ B ∩ C| = x.
- По данным: |A| = 20, |B| = 18, |C| = 18.
- |A ∩ B| = 7, |A ∩ C| = 9.
- Ни одной задачи не решили: 3 человека, значит |A ∪ B ∪ C| = 40 − 3 = 37.
- Применим формулу включения-исключения для трёх множеств: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Подставим данные: 37 = 20 + 18 + 18 − 7 − 9 − |B ∩ C| + x 37 = 56 − 16 − |B ∩ C| + x 37 = 40 − |B ∩ C| + x
Отсюда |B ∩ C| = x + 3.
- Выразим количества по каждой зоне разреза Venn-диаграммы в терминах x.
- AB только (решили A и B, но без C): |A ∩ B| − x = 7 − x.
- AC только (решили A и C, но без B): |A ∩ C| − x = 9 − x.
- BC только (решили B и C, но без A): |B ∩ C| − x = (x + 3) − x = 3.
- A только: |A| − [(AB только) + (AC только) + x] = 20 − [(7 − x) + (9 − x) + x] = 4 + x.
- B только: |B| − [(AB только) + (BC только) + x] = 18 − [(7 − x) + 3 + x] = 8.
- C только: |C| − [(AC только) + (BC только) + x] = 18 − [(9 − x) + 3 + x] = 6.
- Все три: x.
- Проверим на корректность: суммы по всем зонам дают 37 (число, решивших хотя бы одну задачу), и полученные выражения не противоречат неотрицательности:
- AB только ≥ 0 требует x ≤ 7.
- AC только ≥ 0 требует x ≤ 9.
- A только ≥ 0 требует x ≥ −4 (авто выполняется для неотрицательных x).
- BC только равно 3 (неотрицательно).
Следовательно, допустимы все целые x в диапазоне 0 ≤ x ≤ 7.
- Вывод:
- По данным задачи число человек, решивших все три задачи, не определено однозначно.
- Возможно любые значения x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- Примеры: при x = 0 всех трёх решали 0 человек; при x = 7 всех трёх решали 7 человек.
Если хотят получить единственное значение, нужно дополнительное условие, например точное число людей, которые решили именно две задачи, или конкретное значение |B ∩ C|.
