f'(x)=1/4x⁴-1/3x³+1/2x²-x+5

Найдем первообразную функции f′(x) = (1/4)x^4 - (1/3)x^3 + (1/2)x^2 - x + 5.

План:

• применим правило интегрирования степенных функций поочередно к каждому члену.
• добавим интеграционную константу C.

Шаги решения:

1. ∫ (1/4)x^4 dx = (1/4) · ∫ x^4 dx = (1/4) · (x^5/5) = x^5/20.
2. ∫ (−1/3)x^3 dx = (−1/3) · ∫ x^3 dx = (−1/3) · (x^4/4) = − x^4/12.
3. ∫ (1/2)x^2 dx = (1/2) · ∫ x^2 dx = (1/2) · (x^3/3) = x^3/6.
4. ∫ (−x) dx = − ∫ x dx = − (x^2/2) = − x^2/2.
5. ∫ 5 dx = 5x.

Собираем все вместе и добавляем константу: f(x) = x^5/20 − x^4/12 + x^3/6 − x^2/2 + 5x + C.

Проверка (на всякий случай): Берём производную f'(x) = (d/dx) [x^5/20] − (d/dx)[x^4/12] + (d/dx)[x^3/6] − (d/dx)[x^2/2] + (d/dx)[5x] = x^4/4 − x^3/3 + x^2/2 − x + 5, что совпадает с заданной f′(x). Константа C исчезает при дифференцировании, поэтому проверка верна.

Ответ: f(x) = x^5/20 − x^4/12 + x^3/6 − x^2/2 + 5x + C.