Футбольный мяч сшит из 12 чёрных пятиугольников и белых шестиугольников сколько на нём шестиугольников
Задача: футбольный мяч состоит из 12 черных пятиугольников и белых шестиугольников. Сколько на нём шестиугольников?
Решение (пошагово):
Обозначим количество шестиугольников как H. Тогда число граней F = 12 + H.
Подсчёт рёбер: каждый пятиугольник имеет 5 рёбер, каждый шестиугольник — 6. Всего ребер по сумме половин (каждое ребро учитывается в двух лицах) равно E = (5·12 + 6·H)/2 = (60 + 6H)/2 = 30 + 3H.
Структура вершин: в шару типа «обрезанная икосаэдрическая сфера» вершина образуется тремя гранями, причём для футбольной решётки характерна конфигурация вершин 5-6-6: вокруг каждой вершины встречаются один пятиугольник и два шестиугольника. Следовательно, каждая вершина относится к одному пятиугольнику, и общее число вершин равно числу вершин всех пятиугольников: V = 12·5 = 60.
Применим формулу Эйлера для выпуклого polyhedron: V - E + F = 2. Подставляем: 60 - (30 + 3H) + (12 + H) = 2 60 - 30 - 3H + 12 + H = 2 42 - 2H = 2 2H = 40 H = 20.
Ответ: на мяче 20 шестиугольников.
