Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько триугольников разделяют проведённые диагонали…

Цель: понять решение подробно.

Задача: в выпуклом пятиугольнике и выпуклом шестиугольнике из одной вершины проведите все диагонали. Сколько треугольников получается в каждой фигуре?

Ключевая идея

• В выпуклом n-угольнике, если из одной вершины провести все диагонали к всем не соседним вершинам, получаем так называемый «диагональный веер» вокруг этой вершины.
• Эти диагонали разделяют внутри многоугольника на n-2 треугольников.

Применим к вашим фигурам

1. Выпуклый пятиугольник

• Обозначим выбранную вершину как A, соседними будут B и E (если идти по окружности A–B–C–D–E). Диагонали из A — к вершинам C и D.
• Это делит пятиугольник на три треугольника:
  • ΔABC (со сторонами AB, BC, AC)
  • ΔACD (со сторонами AC, CD, AD)
  • ΔADE (со сторонами AD, DE, EA)
• Ответ: 3 треугольника.

2. Выпуклый шестиугольник

• Обозначим выбранную вершину как A, соседними будут B и F. Диагонали из A — к вершинам C, D, E.
• Это делит шестиугольник на четыре треугольника:
  • ΔABC
  • ΔACD
  • ΔADE
  • ΔAEF
• Ответ: 4 треугольника.

Общее замечание

• В выпуклом n-угольнике число получившихся треугольников равно n-2.
  • Для pentagon: n=5 → 5-2 = 3 треугольника.
  • Для hexagon: n=6 → 6-2 = 4 треугольника.
• Доказательство в двух строках:
  • Из одной вершины можно провести ровно n-3 диагонали (к не соседним вершинам).
  • Каждое добавление диагонали увеличивает число областей на 1.
  • Начинаем с одной области (самой фигуры) → всего 1 + (n-3) = n-2 областей, каждая — треугольник.

Итак, ответы:

• Пятиугольник: 3 треугольника.
• Шестиугольник: 4 треугольника.