х³+5х²-9х-45=0

Задача: x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0

Решение с объяснениями (пошагово)

1. Попробуем разложить по группам

• сгруппируем пары: (x^3 + 5x^2) + (-9x - 45)
• вынесем общий множитель в каждой группе: x^2(x + 5) - 9(x + 5)

2. Выделяем общий множитель (x + 5)

• получаем факторизацию: (x^2 - 9)(x + 5)

3. Разложим разность квадратов

• x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
• итоговая факторизация полинома: (x + 5)(x - 3)(x + 3)

4. Найдем корни

• x = -5, x = 3, x = -3

Проверка (почему верно)

• Подставим корни в исходное уравнение:
  • x = 3: 27 + 45 - 27 - 45 = 0
  • x = -3: -27 + 45 + 27 - 45 = 0
  • x = -5: -125 + 125 + 45 - 45 = 0 Все три значения удовлетворяют уравнению.

Дополнительно: альтернативный метод (корни по рациональному множителю)

• Поиск рациональных корней по теореме рациональных корней: возможны ±1, ±3, ±5, ±9, ±15, ±45.
• Проверяем x = -5: (-125) + 125 + 45 - 45 = 0, значит (x + 5) — множитель.
• Делим полином на (x + 5): получаем x^2 - 9.
• Разлагаем: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).
• Корни такие же: x = -5, 3, -3.

Ответ: корни уравнения x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0 равны x = -5, x = -3, x = 3.