перпендикуляр опущенный из вершины B прямоугольника ABCD на диагональ AC делит угол ABC на дв угла величины которых относятся как 1:3. Найдите угол между проведённым…

Задача по геометрии (класс 9, цель — понять).

Дано: прямоугольник ABCD. Из вершины B опущен перпендикуляр к диагонали AC, точка пересечения — E. BE ⟂ AC. Угол ABC (прямой угол) разбивается этой полупрямой на два угла, отношение которых равно 1:3. Найти угол между BE и диагональю BD.

Решение

1. Обозначения и установка координат

• Пусть AB = a, BC = b.
• Введём систему координат: A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b).
• Диагональ AC задаётся как прямая y = (b/a)x.
• Перпендикуляр BE к AC имеет наклон m_BE = -a/b (потому что наклон перпендикулярной прямой к прямой с наклоном b/a равен -a/b).

2. Найдём точку E пересечения BE и AC

• Уравнение BE: y = -(a/b)(x - a).
• AC: y = (b/a)x.
• Решая: (b/a)x = -(a/b)(x - a) => (b^2 + a^2)x = a^3 => x_E = a^3/(a^2 + b^2).
• Соответственно y_E = (b/a)x_E = a^2 b/(a^2 + b^2).
• С наклоном BE мы можем проверить, что m_BE = (y_E - 0)/(x_E - a) = -a/b (как и ожидалось).

3. Углы, на которые BE делит угол ABC

• Угол ABE образован линиями AB (горизонталь) и BE. Поскольку BE имеет наклон -a/b, его угол с горизонталью равен arctan(|m_BE|) = arctan(a/b).
• Угол EBC образован BE и BC (вертикаль). Угол между линией и вертикалью равен arctan(1/|m_BE|) = arctan(b/a).
• По условию: arctan(a/b) : arctan(b/a) = 1 : 3.
• Так как arctan(a/b) + arctan(b/a) = 90°, получаем arctan(a/b) = 22.5°, arctan(b/a) = 67.5°.
• Следовательно a/b = tan 22.5° = √2 − 1.

4. Нужный угол между BE и BD

• Диагональ BD: из B(a,0) в D(0,b) имеет наклон m_BD = (b - 0)/(0 - a) = -b/a.
• Угол между двумя прямыми с наклонами m1 = m_BE = -a/b и m2 = m_BD = -b/a вычисляется по формуле tan φ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|.
• Подставим: m1 m2 = (-a/b)(-b/a) = 1, поэтому tan φ = |(-b/a) − (−a/b)| / (1 + 1) = |(-b/a + a/b)| / 2 = |(a^2 − b^2)/(ab)| / 2.
• Обозначим r = a/b. Тогда tan φ = |r^2 − 1| / (2r).
• При r = tan 22.5° = √2 − 1 имеем r^2 = (√2 − 1)^2 = 3 − 2√2, и 1 − r^2 = 1 − (3 − 2√2) = 2(√2 − 1) = 2r. Значит tan φ = (1 − r^2) / (2r) = (2r)/(2r) = 1.
• Получаем φ = 45°.

Ответ: угол между BE и диагональю BD равен 45 degrees.