найти решение уравнения sin x/3 = - 1/2 на отрезке [0; 3π]

Задача: найти решения уравнения sin(x/3) = -1/2 на отрезке [0, 3π].

Замечание по трактовке

• Встречаются две возможные трактовки без скобок:
  1. sin(x/3) = -1/2
  2. (sin x)/3 = -1/2, то есть sin x = -3/2
• Рассмотрим обе и покажем, что в любом случае решений на [0, 3π] нет.

1. трактовка sin(x/3) = -1/2

• Пусть t = x/3. Тогда x ∈ [0, 3π] эквивалентно t ∈ [0, π].
• На интервале t ∈ [0, π] синус не бывает отрицательным: sin t ∈ [0, 1].
• Значение -1/2 не принадлежит диапазону sin t на этом интервале.
• Следовательно, решений нет.

2. трактовка (sin x)/3 = -1/2

• Умножим обе стороны на 3: sin x = -3/2.
• Значение -3/2 выходит за допустимый диапазон синуса, так как |sin x| ≤ 1 для всех x.
• Следовательно, решений тоже нет.

Вывод

• На отрезке [0, 3π] уравнение sin(x/3) = -1/2 не имеет решений.
• Аналогично, если трактовать как (sin x)/3 = -1/2, решений тоже нет.

Дополнительные замечания (если интересна общая картина за пределами этого отрезка)

• Если рассмотреть sin(x/3) = -1/2 без ограничений по x, решения имеют вид x = 7π/2 + 6πk и x = 11π/2 + 6πk для целых k. Однако в отрезке [0, 3π] такие точки не попадают, как показано выше.
• Для уравнения sin x = -3/2 решений вообще не существует в любой вещественной области.