Формула нерона

Вам, скорее всего, нужна формула Нерона для канонической высоты (Néron–Tate height) на абелевых variety или на кривой Элипса. Это одна из самых распространённых “формул Нерона” в числе учебных задач по теории чисел и геометрии чисел. Что такое формула Нерона (канионическая высота)? - Пусть у вас есть абелевая varieties A над числовым полем K и вещественная симметричная очень достаточно амплевая линейная система L. Для точки P ∈ A(K) определяется каноническая высота hat{h}_L(P) как предел: hat{h}_L(P) = lim_{n → ∞} h_L([n]P) / n^2, где h_L — некоторый наивный (Weil) рост, связанный с L, и [n]P — n-раз несущая точка. - В случае кривой Элипса E/K (например, в форме y^2 = x^3 + ax + b) обычно берут L соответствующий стандартному росту, и hat{h}(P) = lim_{n→∞} h([n]P) / n^2. - Основные свойства: - hat{h}([n]P) = n^2 hat{h}(P) для любых n. - hat{h}(P) = 0 тогда и только тогда, когда P есть торсионная точка (P имеет конечный порядок). - Разность между наивным ростом h(P) и каноническим ростом hat{h}(P) ограничена по модулю: |h(P) − hat{h}(P)| ≤ C для некоторого константы C зависимой от модели. Разбор на примере (для краткости): - Пусть E: y^2 = x^3 − x над Q. Пусть P = (0, 0). Этот P является точкой торсионной группы E(Q) (часто она имеет порядок 2), поэтому hat{h}(P) = 0. - Для практики высоту можно вычислять как предел h([n]P)/n^2 (или её локальное разложение), и для тора точка каноническая высота равна 0. Как пользоваться на экзамене: - Запомните основной формулу hat{h}(P) = lim_{n→∞} h([n]P)/n^2. - Запомните ключевые свойства: ноль для торсионных точек; линейность по n: hat{h}([n]P) = n^2 hat{h}(P). - Помните про локальное разложение: hat{h}(P) = ∑_v λ_v(P) (сумма по всем вселенных местных высот), если нужно разбирать вопрос детально. - Если задача просит конкретного примера на кривой Элипса, обычно достаточно проверить, что точка торсионная или не торсионная, и при необходимости привести грубую оценку через предел или через вычисления [n]P для нескольких n. Если вы имели в виду другой контекст под “формулой Нерона” (например, что–то связанное с десингуализацией Нерона, критерий Нерона–OG или локальные формулы высот в другом объекте), скажите тему или дайте контекст — уточню формулировку и приведу нужное доказательство или пример.