Какие значения может принимать выражение (Fn)^2 - Fn-1*Fn+1?

Ответ: выражение F_n^2 − F_{n−1}F_{n+1} принимает только два значения: 1 и −1.

Почему так:

• Есть известное тождество Касини для чисел Фибоначчи: F_{n+1}F_{n−1} − F_n^2 = (−1)^n для всех n≥1.
• Перепишем это равенство так, чтобы увидеть наш выражение: F_n^2 − F_{n−1}F_{n+1} = −(F_{n+1}F_{n−1} − F_n^2) = −(−1)^n = (−1)^{n+1}.

Значит:

• если n нечетное, (−1)^{n+1} = 1,
• если n четное, (−1)^{n+1} = −1.

Проверка на примерах (при стандартном определении F_0 = 0, F_1 = 1):

• n = 1: F_1^2 − F_0F_2 = 1^2 − 0·1 = 1.
• n = 2: F_2^2 − F_1F_3 = 1^2 − 1·2 = −1.

Замечание по индексации: если в учебнике не используют F_0, то формулу можно рассматривать для n≥2 с тем же выводом; основная идея сохраняется.

Итого: выражение принимает только значения 1 и −1, чередуясь в зависимости от чётности n.