Задача: найти |x| + |x − 2| при x = 0,5; 1; 1,5; 2 и объяснить.
1) Разбираем по разломам модулей
- Корни модулей: x = 0 и x = 2.
- В промежутках получаем разную форму выражения:
- Для x ≤ 0: |x| = −x, |x − 2| = 2 − x → f(x) = −x + (2 − x) = 2 − 2x.
- Для 0 ≤ x ≤ 2: |x| = x, |x − 2| = 2 − x → f(x) = x + (2 − x) = 2.
- Для x ≥ 2: |x| = x, |x − 2| = x − 2 → f(x) = x + (x − 2) = 2x − 2.
2) Вычисляем для заданных значений
- x = 0,5: лежит в диапазоне [0, 2], поэтому f(x) = 2.
Проверка: |0,5| + |0,5 − 2| = 0,5 + |−1,5| = 0,5 + 1,5 = 2.
- x = 1: в диапазоне [0, 2], f(x) = 2.
Проверка: |1| + |1 − 2| = 1 + 1 = 2.
- x = 1,5: в диапазоне [0, 2], f(x) = 2.
Проверка: |1,5| + |1,5 − 2| = 1,5 + 0,5 = 2.
- x = 2: на границе, f(x) = 2.
Проверка: |2| + |2 − 2| = 2 + 0 = 2.
3) Небольшое замечание (для понимания)
- В промежутке от 0 до 2 сумма расстояний до точек 0 и 2 равна длине отрезка между ними, то есть 2. Это следует из треугольного неравенства: для любых x выполняется |x| + |x − 2| ≥ |2 − 0| = 2, и равенство достигается, когда x лежит между 0 и 2. Наши значения x попадают в этот промежуток, поэтому все ответы равны 2.
Ответ: для всех данных значений x результат равен 2.
