Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные…
Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Дано: два раствора массами 22 кг и 18 кг. При их полном смешивании получается раствор с концентрацией 32% кислоты. При смешивании равных масс этих растворов получается раствор с концентрацией 30%.
Обозначим:
- a1 — масса кислоты в первом растворе (массой 22 кг),
- a2 — масса кислоты во втором растворе (массой 18 кг).
Полное смешивание Общий вес растворов = 22 + 18 = 40 кг. Общая масса кислоты = 0.32 × 40 = 12.8 кг. Значит: a1 + a2 = 12.8. (Уравнение 1)
Смешивание равных масс Пусть взяли t кг из каждого раствора. Тогда в первом растворе кислоты содержится (a1/22) часть от массы раствора, то есть кислоты в тлу: (a1/22) t. Во втором: (a2/18) t. Общий объем кислоты в смеси = (a1/22) t + (a2/18) t. Общий вес смеси = 2t. Концентрация = [(a1/22) t + (a2/18) t] / (2t) = 0.30. Следовательно: a1/22 + a2/18 = 0.60. (Уравнение 2)
Решение системы Из Уравнения 1: a1 = 12.8 − a2. Подставим в Уравнение 2: (12.8 − a2)/22 + a2/18 = 0.60.
Приведём к общему знаменателю 198: 9(12.8 − a2) + 11a2 = 118.8 115.2 − 9a2 + 11a2 = 118.8 115.2 + 2a2 = 118.8 2a2 = 3.6 a2 = 1.8 кг.
Тогда a1 = 12.8 − 1.8 = 11.0 кг.
Ответ: в первом растворе содержится 11 кг кислоты. Это соответствует концентрации 11/22 = 0.5 = 50% в первом растворе. Проверка:
- Полное смешивание: сумма кислот = 11 + 1.8 = 12.8 кг, всего 40 кг → 12.8/40 = 0.32 = 32%.
- Равные массы: концентрация = (a1/22 + a2/18)/2 = (0.5 + 0.1)/2 = 0.3 = 30%.
Обсуждение
2 сообщенияИмеются два СОСУДА, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Давайте обозначим массу кислоты в первом растворе (в 22 кг) как \( a_1 \) и массу кислоты во втором растворе (в 18 кг) как \( a_2 \).
1. Полное смешивание
Когда мы смешиваем оба раствора, получаем общий объем: \[ 22 + 18 = 40 \text{ кг} \] Концентрация кислоты в получившемся растворе составляет 32%, следовательно: \[ \frac{a_1 + a_2}{40} = 0.32 \] Это уравнение можно записать как: \[ a_1 + a_2 = 12.8 \quad (Уравнение \, 1) \]
2. Смешивание равных масс
Теперь, если смешать равные массы обоих растворов, пусть это будет \( t \) кг из каждого, то получаем следующие выражения для масс кислоты в этих растворах:
- Масса кислоты в первом растворе: \[ \frac{a_1}{22} t \]
- Масса кислоты во втором растворе: \[ \frac{a_2}{18} t \]
Общая масса полученного раствора: \[ 2t \]
Концентрация этого раствора составляет 30%, таким образом: \[ \frac{\frac{a_1}{22} t + \frac{a_2}{18} t}{2t} = 0.3 \]
Упростим это уравнение, сократив \( t \): \[ \frac{a_1}{22} + \frac{a_2}{18} = 0.6 \quad (Уравнение \, 2) \]
3. Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( a_1 + a_2 = 12.8 \)
- \( \frac{a_1}{22} + \frac{a_2}{18} = 0.6 \)
Из первого уравнения выразим \( a_2 \): \[ a_2 = 12.8 - a_1 \]
Подставим это выражение во второе уравнение: \[ \frac{a_1}{22} + \frac{12.8 - a_1}{18} = 0.6 \]
Умножим всё уравнение на 396 (LCM 22 и 18) для устранения дробей: \[ 18a_1 + 22(12.8 - a_1) = 0.6 \cdot 396 \] \[ 18a_1 + 281.6 - 22a_1 = 237.6 \] \[ -4a_1 + 281.6 = 237.6 \] \[ -4a_1 = 237.6 - 281.6 \] \[ -4a_1 = -44 \] \[ a_1 = 11 \text{ кг} \]
Ответ
В первом растворе содержится 11 кг кислоты.
