Y=x-x³

Разберём функцию y = x - x^3 пошагово и подробно, чтобы понять её график и ключевые свойства. 1) Общая характеристика - Функция: y = x - x^3 - Область определения: все действительные числа (R). - Степень: кубическая функция с отрицательным старшим коэффициентом (-x^3), поэтому график имеет характерную «кривую» форму с одной локальной минимумой и одной локальной максимумной. - Оси симметрии: функция не симметрична по вертикали или горизонтали, но она нечетная: y(-x) = -y(x). Следовательно, график симметричен относительно начала координат (поворот на 180 градусов). 2) Корни и значения на оси - Преобразуем: y = x - x^3 = x(1 - x^2) = x(1 - x)(1 + x). - Корни (пересечение с осью Ox): x = -1, 0, 1. - Значение на оси Oy: y(0) = 0 (укорачивание до точки происхождения). 3) Производная и монотонность - Первая производная: y' = d/dx (x - x^3) = 1 - 3x^2. - Анализ знака y': - y' > 0, когда 1 - 3x^2 > 0 → x^2 < 1/3 → |x| < 1/√3. - y' < 0, когда |x| > 1/√3. - Интервалы монотонности: - Возрастание: (-1/√3, 1/√3). - Убывание: (-∞, -1/√3) и (1/√3, ∞). 4) Точки экстремума - Критические точки: y' = 0 → x = ± 1/√3. - Вторая производная: y'' = d/dx (1 - 3x^2) = -6x. - Классификация: - В x = -1/√3: y''(-1/√3) = -6(-1/√3) > 0 → локальный минимум. - В x = 1/√3: y''(1/√3) = -6(1/√3) < 0 → локальный максимум. - Значения в этих точках: - y(-1/√3) = (-1/√3) - (-1/√3)^3 = -1/√3 + 1/(3√3) = -(2)/(3√3) ≈ -0.3849. - y(1/√3) = (1/√3) - (1/√3)^3 = 1/√3 - 1/(3√3) = (2)/(3√3) ≈ 0.3849. - Следовательно: - Локальный минимум: при x = -1/√3, y ≈ -0.3849. - Локальный максимум: при x = 1/√3, y ≈ 0.3849. 5) Теория выпуклости/перегиба - Вторая производная меняет знак в x = 0: y'' = -6x. - При x < 0: y'' > 0 (выпуклая вверх). - При x > 0: y'' < 0 (выпуклая вниз). - Следовательно, точка перегиба (инфлексная) по ординате находится в x = 0. - Координаты точки перегиба: (0, 0). Это при этом и пересечение графика с осью Ox. 6) Осмысленный разбор графика - График начинается на левом бесконечности выше оси (y → ∞ при x → -∞), опускается до локального минимума в x = -1/√3, поднимается к локальному максимуму в x = 1/√3, затем идёт вниз к -∞ при x → ∞. - Корни расположены в -1, 0, 1, через эти точки график меняет знак. - График симметричен относительно начала координат (нечётная функция): поворот на 180 градусов вокруг начала совпадает с самим графиком. 7) Быстрый набор ключевых точек - Корни: x = -1, 0, 1 → y = 0. - Локальный минимум: x = -1/√3, y = -2/(3√3) ≈ -0.3849. - Локальный максимум: x = 1/√3, y = 2/(3√3) ≈ 0.3849. - Точка перегиба: (0, 0). - Соединение знаков: между -1 и 0 график отрицателен; между 0 и 1 положителен; вне [-1, 1] знак меняется. 8) Краткое резюме (для запоминания) - y = x - x^3 — нечетная кубическая функция с отрицательным ведущим коэффициентом. - zeros: -1, 0, 1; локальный минимум при -1/√3, локальный максимум при 1/√3; точка перегиба в начале координат. - Монтоника: возрастание на (-1/√3, 1/√3), убывание на (-∞, -1/√3) и (1/√3, ∞). Если хочешь, могу построить приблизительный график или привести дополнительные примеры задач (например, найти площадь под графиком на каком-то отрезке, или построить табличку значений).