\frac{2}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}(3x^5 - x)

Задача: (2 / √x) = √x (3x^5 - x) Цель: понять решение пошагово. Ограничение по области: √x определено для x > 0. Решение (пошагово): 1) Умножим обе стороны на √x, чтобы избавиться от дроби: 2 = x(3x^5 - x) = 3x^6 - x^2. 2) Перепишем уравнение в более удобном виде: 3x^6 - x^2 - 2 = 0. 3) Введём замену: пусть u = x^2. Тогда u ≥ 0 и получим кубичное уравнение: 3u^3 - u - 2 = 0. 4) Разложим на множители. Заметим, что u = 1 является корнем: 3(1)^3 - 1 - 2 = 0. Значит 3u^3 - u - 2 = (u - 1)(3u^2 + 3u + 2). 5) Второй множитель 3u^2 + 3u + 2 не имеет действительных корней (дисcriminant Δ = 3^2 - 4·3·2 = 9 - 24 = -15 < 0). Поэтому действительных корней только у у = 1. 6) Следовательно, x^2 = u = 1. Из области определения √x у нас x > 0, значит: x = 1. 7) Проверка: Левый член: 2 / √1 = 2. Правый член: √1 (3·1^5 - 1) = 1·(3 - 1) = 2. Совпадает, решение верно. Итог: x = 1. Дополнительно (альтернативный подход): можно ввести t = √x, тогда x = t^2 и рассмотреть уравнение 2 = 3t^12 - t^4, что даёт тот же результат через замену y = t^4 и решение 3y^3 - y - 2 = 0. Но основной путь выше короче для средней школы.