(x+1)²-(x-1)²

Задача: (x+1)² − (x−1)²

Цель: Понять, как упростить данное выражение. Ниже два способа — наглядный и через разложение квадратов.

1. Способ через формулу разности квадратов

• Задаём a = x+1 и b = x−1. Тогда выражение имеет вид a² − b².
• Используем формулу: a² − b² = (a − b)(a + b).
• Вычисляем:
  • a − b = (x+1) − (x−1) = x+1 − x + 1 = 2
  • a + b = (x+1) + (x−1) = x+1 + x − 1 = 2x
• Умножаем: (a − b)(a + b) = 2 · 2x = 4x
• Ответ: выражение равно 4x.

2. Способ через раскрытие скобок

• Раскроем квадраты:
  • (x+1)² = x² + 2x + 1
  • (x−1)² = x² − 2x + 1
• Вычислим разность:
  • (x² + 2x + 1) − (x² − 2x + 1) = x² + 2x + 1 − x² + 2x − 1
  • = 4x
• Ответ: 4x.

Доказательство верности и проверка

• Оба метода приводят к одному результату: 4x.
• Домен: все действительные числа (нет ограничений на x).
• Пример проверки: возьмём x = 3.
  • (3+1)² − (3−1)² = 4² − 2² = 16 − 4 = 12, а 4x = 12 — совпадает.

Итог: (x+1)² − (x−1)² = 4x.