( 2х-3)(х+5)(3х-1)³≤о
Задача: решить неравенство (2x − 3)(x + 5)(3x − 1)^3 ≤ 0.
Пояснение и шаги решения
- Найдём нули множителей
- 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3/2
- x + 5 = 0 ⇒ x = −5
- (3x − 1)^3 = 0 ⇒ 3x − 1 = 0 ⇒ x = 1/3 (куб имеет корень в той же точке)
Итак, критические точки: x = −5, x = 1/3, x = 3/2. Умножение даёт ноль в этих точках, поэтому они включаются в решение.
- Обозначим знаки факторов
- 2x − 3 меняет знак при x = 3/2 (однократный корень).
- x + 5 меняет знак при x = −5 (однократный корень).
- (3x − 1)^3 имеет ту же точку x = 1/3, но так как показатель нечётный (3), знак тоже меняется при переходе через x = 1/3.
- Разобьём по интервалам и найдём знак произведения Пусть возьмём интервалы: (-∞, −5), (−5, 1/3), (1/3, 3/2), (3/2, ∞). Проверим знак произведения в любом тестовом точке в каждом интервале.
x < −5, например x = −6: 2x − 3 < 0, x + 5 < 0, (3x − 1)^3 < 0 Продукт: (−)·(−)·(−) = − (отрицателен) ⇒ ≤ 0 выполняется.
−5 < x < 1/3, например x = 0: 2x − 3 < 0, x + 5 > 0, (3x − 1)^3 < 0 Продукт: (−)·(+)·(−) = + (положителен) ⇒ не выполняется.
1/3 < x < 3/2, например x = 1: 2x − 3 < 0, x + 5 > 0, (3x − 1)^3 > 0 Продукт: (−)·(+)·(+) = − (отрицателен) ⇒ выполняется.
x > 3/2, например x = 2: 2x − 3 > 0, x + 5 > 0, (3x − 1)^3 > 0 Продукт: (+)·(+)·(+) = + (положителен) ⇒ не выполняется.
- Учитывая неравенство ≤ 0, добавляем точки нулей Произведение равно нулю на x = −5, x = 1/3, x = 3/2, их тоже нужно включить.
Ответ (-∞, −5] ∪ [1/3, 3/2]
Дополнительные заметки
- Поскольку в (3x − 1)^3 применяется куб, у корня x = 1/3 нечётная кратность, поэтому знак действительно меняется слева и справа от этой точки.
- На интервалах между корнями знак не меняется только там, где кратность чётная (если бы были такие корни). Здесь же у всех корней кратности 1 за исключением тройного корня в (3x − 1)^3, но он остаётся нечётной кратностью по сути события знака, поэтому мы и видим смену знака в точках.
Обсуждение
2 сообщениякак это сделать лехко разбери
Хорошо, давай разберем неравенство \( (2x - 3)(x + 5)(3x - 1)^3 \leq 0 \) пошагово и на простом языке.
Шаг 1: Найдем нули выражения
Нули возникают, когда каждое из выражений равно нулю. Давай решим каждое уравнение:
\( 2x - 3 = 0 \)
\( 2x = 3 \)
\( x = \frac{3}{2} = 1.5 \)\( x + 5 = 0 \)
\( x = -5 \)\( (3x - 1)^3 = 0 \)
\( 3x - 1 = 0 \)
\( 3x = 1 \)
\( x = \frac{1}{3} \approx 0.33 \)
Итак, у нас есть ключевые точки (нули):
- \( x = -5 \)
- \( x = \frac{1}{3} \approx 0.33 \)
- \( x = \frac{3}{2} \approx 1.5 \)
Шаг 2: Разделим число на интервалы
Теперь мы знаем критические точки, и можем разделить всю числовую прямую на интервалы:
- \( (-\infty, -5) \)
- \( (-5, \frac{1}{3}) \)
- \( (\frac{1}{3}, \frac{3}{2}) \)
- \( (\frac{3}{2}, +\infty) \)
Шаг 3: Проверим знак выражения на каждом интервале
Теперь нужно проверить, положительное или отрицательное выражение в каждом интервале. Для этого мы подставим тестовые значения (любой x из интервала).
Интервал \( (-\infty, -5) \)
Пусть \( x = -6 \):
\( (2(-6) - 3)(-6 + 5)(3(-6) - 1)^3 \) =
\( (-12 - 3)(-1)(-18 - 1)^3 \) =
\( (-15)(-1)(-19)^3 \) < 0 (т.е. отрицательно)Интервал \( (-5, \frac{1}{3}) \)
Пусть \( x = 0 \):
\( (2(0) - 3)(0 + 5)(3(0) - 1)^3 \) =
\( (-3)(5)(-1)^3 \) =
\( (-3)(5)(-1) > 0 \) (т.е. положительно)Интервал \( (\frac{1}{3}, \frac{3}{2}) \)
Пусть \( x = 1 \):
\( (2(1) - 3)(1 + 5)(3(1) - 1)^3 \) =
\( (-1)(6)(2)^3 \) =
\( (-1)(6)(8) < 0 \) (т.е. отрицательно)Интервал \( (\frac{3}{2}, +\infty) \)
Пусть \( x = 2 \):
\( (2(2) - 3)(2 + 5)(3(2) - 1)^3 \) =
\( (4 - 3)(7)(5)^3 \) =
\( (1)(7)(125) > 0 \) (т.е. положительно)
Шаг 4: Соберем результаты
- В интервале \( (-\infty, -5) \): отрицательно
- В интервале \( (-5, \frac{1}{3}) \): положительно
- В интервале \( (\frac{1}{3}, \frac{3}{2}) \): отрицательно
- В интервале \( (\frac{3}{2}, +\infty) \): положительно
Теперь проверим, где неравенство ≤ 0 выполняется. Это будет в интервалах, где выражение отрицательно или равно нулю.
Шаг 5: Учтем точки
- На \( x = -5 \): выражение равно 0.
- На \( x = \frac{1}{3} \): выражение равно 0.
- На \( x = \frac{3}{2} \): выражение равно 0.
Ответ
Объединяем все интервалы, где было ≤ 0:
- \( (-\infty, -5] \) (отрицательное и включает -5)
- \( [\frac{1}{3}, \frac{3}{2}] \) (включает обе точки, где 0)
Финальный ответ: \[ (-\infty, -5] \cup \left[\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right] \]
Если что-то непонятно, не стесняйся спрашивать!
