( 2х-3)(х+5)(3х-1)³≤о

Задача: решить неравенство (2x − 3)(x + 5)(3x − 1)^3 ≤ 0. Пояснение и шаги решения 1) Найдём нули множителей - 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3/2 - x + 5 = 0 ⇒ x = −5 - (3x − 1)^3 = 0 ⇒ 3x − 1 = 0 ⇒ x = 1/3 (куб имеет корень в той же точке) Итак, критические точки: x = −5, x = 1/3, x = 3/2. Умножение даёт ноль в этих точках, поэтому они включаются в решение. 2) Обозначим знаки факторов - 2x − 3 меняет знак при x = 3/2 (однократный корень). - x + 5 меняет знак при x = −5 (однократный корень). - (3x − 1)^3 имеет ту же точку x = 1/3, но так как показатель нечётный (3), знак тоже меняется при переходе через x = 1/3. 3) Разобьём по интервалам и найдём знак произведения Пусть возьмём интервалы: (-∞, −5), (−5, 1/3), (1/3, 3/2), (3/2, ∞). Проверим знак произведения в любом тестовом точке в каждом интервале. - x < −5, например x = −6: 2x − 3 < 0, x + 5 < 0, (3x − 1)^3 < 0 Продукт: (−)·(−)·(−) = − (отрицателен) ⇒ ≤ 0 выполняется. - −5 < x < 1/3, например x = 0: 2x − 3 < 0, x + 5 > 0, (3x − 1)^3 < 0 Продукт: (−)·(+)·(−) = + (положителен) ⇒ не выполняется. - 1/3 < x < 3/2, например x = 1: 2x − 3 < 0, x + 5 > 0, (3x − 1)^3 > 0 Продукт: (−)·(+)·(+) = − (отрицателен) ⇒ выполняется. - x > 3/2, например x = 2: 2x − 3 > 0, x + 5 > 0, (3x − 1)^3 > 0 Продукт: (+)·(+)·(+) = + (положителен) ⇒ не выполняется. 4) Учитывая неравенство ≤ 0, добавляем точки нулей Произведение равно нулю на x = −5, x = 1/3, x = 3/2, их тоже нужно включить. Ответ (-∞, −5] ∪ [1/3, 3/2] Дополнительные заметки - Поскольку в (3x − 1)^3 применяется куб, у корня x = 1/3 нечётная кратность, поэтому знак действительно меняется слева и справа от этой точки. - На интервалах между корнями знак не меняется только там, где кратность чётная (если бы были такие корни). Здесь же у всех корней кратности 1 за исключением тройного корня в (3x − 1)^3, но он остаётся нечётной кратностью по сути события знака, поэтому мы и видим смену знака в точках.