2+корень x-1/ Корень 5-х -1 Прикаких значения выражения имеет смысл

Задача: определить смысловую область выражения E(x) = (2 + √(x − 1)) / (√(5 − x) − 1).

Пошагово:

1. Требуемые условия на радикалы

• √(x − 1) существует: x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1.
• √(5 − x) существует: 5 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5.

2. Условие неопределённости знаменателя

• Знаменатель не должен равняться нулю: √(5 − x) − 1 ≠ 0 ⇒ √(5 − x) ≠ 1.
• Так как квадратный корень неотрицательный, √(5 − x) = 1 даёт 5 − x = 1 ⇒ x = 4.
• Значит x ≠ 4.

3. Объединение условий

• Из пунктов 1) получаем x ∈ [1, 5].
• Исключаем узел x = 4.
• Итого область определения: x ∈ [1, 4) ∪ (4, 5].

Проверочные примеры:

• x = 1: числитель 2 + √0 = 2, знаменатель √(4) − 1 = 2 − 1 = 1 → ок.
• x = 4: знаменатель √(1) − 1 = 1 − 1 = 0 → не допускается.
• x = 5: числелитель 2 + √(4) = 4, знаменатель √(0) − 1 = −1 → ок.

Ответ: область определения выражения E(x) = (2 + √(x − 1)) / (√(5 − x) − 1) равна [1, 4) ∪ (4, 5].