При каких значениях а уравнение ах? - 3х - 2 - Оимеет 2 различных корня одного знака?

Задача: для уравнения a x^2 − 3x − 2 = 0 найти значения a, при которых уравнение имеет два разных корня одного знака (одного знака = оба корня либо положительные, либо отрицательные).

1. Условие на существование двух разных корней

• Пусть D — дискриминант: D = b^2 − 4ac. Здесь a = a, b = −3, c = −2.
• D = (−3)^2 − 4·a·(−2) = 9 + 8a.
• Требуется D > 0 и a ≠ 0 (иначе не будет квадратичного уравнения и не будет двух корней).
• Значит: 9 + 8a > 0 ⇒ a > −9/8.

2. Условие на знаки корней

• Пусть r1 и r2 — корни. Сумма корней: r1 + r2 = −b/a = −(−3)/a = 3/a.
• Произведение корней: r1·r2 = c/a = (−2)/a.
• Чтобы корни были одного знака, их произведение должно быть положительно: r1·r2 > 0.
• Значит: (−2)/a > 0 ⇒ a < 0.

3. Совмещение условий

• Из первого условия: a > −9/8.
• Из второго условия: a < 0.
• Следовательно, допустимый диапазон: −9/8 < a < 0.

4. Дополнительный комментарий

• В этом диапазоне a < 0, значит сумма корней r1 + r2 = 3/a < 0, т.е. оба корня отрицательны. Это согласуется с произведением, которое положительно при a < 0.

Итог: Уравнение a x^2 − 3x − 2 = 0 имеет два различных корня одного знака тогда, когда a ∈ (−9/8, 0). В этом интервале оба корня отрицательны. Например, при a = −1 имеем x^2 + 3x + 2 = 0, корни −1 и −2.