Решите уравнение: 2х^2-7х +3=0 двумя способами (через дискриминант и теорему Виете).

Задача: 2x^2 − 7x + 3 = 0. Решим двумя способами: через дискриминант и через теорему Виета.

1. Способ через дискриминант

• Постановка: a = 2, b = −7, c = 3.
• Дискриминант: D = b^2 − 4ac = (−7)^2 − 4·2·3 = 49 − 24 = 25.
• Корни формулой: x = [−b ± √D] / (2a) = [7 ± 5] / 4.
  • x1 = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3
  • x2 = (7 − 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2
• Проверка: подставим в уравнение или раскроем скобки: (2x − 1)(x − 3) = 0, даёт тот же результат.
• Итог: корни x = 3 и x = 1/2.

2. Способ через теорему Виета

• Для уравнения ax^2 + bx + c = 0 имеем суммы и произведение корней:
  • Сумма корней S = −b/a = −(−7)/2 = 7/2
  • Произведение корней P = c/a = 3/2
• Пусть корни — x1 и x2. Они удовлетворяют квадратному уравнению t^2 − S t + P = 0 с неизвестной t (это тот же корень, что и x):
  • t^2 − (7/2)t + 3/2 = 0
  • Умножим на 2: 2t^2 − 7t + 3 = 0
  • Найдём корни по формуле: t = [7 ± √(49 − 24)] / 4 = [7 ± 5] / 4
    • t1 = (7 + 5) / 4 = 12/4 = 3
    • t2 = (7 − 5) / 4 = 2/4 = 1/2
• Значит, корни исходного уравнения те же: x1 = 3 и x2 = 1/2.

Ответ: x = 3 и x = 1/2.