Найди синус угла A если AC=2, BC=1, AB=√5

Задача: найти синус угла A в треугольнике ABC, если AC = 2, BC = 1, AB = √5. Пусть стороны треугольника обозначим как: - a = BC = 1 ( opposite углу A ), - b = CA = 2 ( opposite углу B ), - c = AB = √5 ( opposite углу C ). 1) Найдём площадь Δ треугольника через формулу Герона. - s = (a + b + c) / 2 = (1 + 2 + √5) / 2 = (3 + √5)/2. - Δ^2 = s(s − a)(s − b)(s − c). Раскроем скобки: s − a = (3 + √5)/2 − 1 = (1 + √5)/2, s − b = (3 + √5)/2 − 2 = (√5 − 1)/2, s − c = (3 + √5)/2 − √5 = (3 − √5)/2. Умножим пары: (s)(s − a) = (3 + √5)(1 + √5)/4, (s − b)(s − c) = (√5 − 1)(3 − √5)/4. Заметим: (1 + √5)(√5 − 1) = 4, (3 + √5)(3 − √5) = 4. Тогда Δ^2 = (4 · 4) / 16 = 1 ⇒ Δ = 1. 2) Связь площади с синусом угла A. Δ = (1/2) · b · c · sin A. Тогда sin A = 2Δ / (b c) = 2 · 1 / (2 · √5) = 1/√5 = √5/5. Проверка альтернативным способом (по косинусной теореме): a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A ⇒ 1 = 4 + 5 − 4√5 cos A ⇒ cos A = 2/√5. Тогда sin^2 A = 1 − cos^2 A = 1 − 4/5 = 1/5 ⇒ sin A = √(1/5) = 1/√5, согласуется. Ответ: sin A = √5/5.