x³+6x²-9x-54

Решение задачи: x^3 + 6x^2 - 9x - 54

1. Найдём рациональные корни по теореме рациональных корней. Возможные делители свободного члена ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±27, ±54.

2. Проверим x = 3: 3^3 + 6·3^2 - 9·3 - 54 = 27 + 54 - 27 - 54 = 0. Значит, x = 3 является корнем, и (x - 3) является множителем.

3. Разделим многочлен на (x - 3) (деление есть обычное или метод синтетического деления): x^3 + 6x^2 - 9x - 54 ÷ (x - 3) даёт квотиент x^2 + 9x + 18. Итак, x^3 + 6x^2 - 9x - 54 = (x - 3)(x^2 + 9x + 18).

4. Разложим квадратичный множитель: x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6).

5. Полное разложение: x^3 + 6x^2 - 9x - 54 = (x - 3)(x + 3)(x + 6).

6. Корни многочлена: x = 3, x = -3, x = -6.

Проверка (по желанию): подставим любой корень обратно в исходное выражение и убедимся, что получается 0. Например, при x = 3: (3 - 3)(3 + 3)(3 + 6) = 0.