sin3x-cos3x=√3/2

Задача: sin(3x) − cos(3x) = √3/2

Цель: понять решение пошагово (для 11 класса).

Пошаговое решение

1. Обозначим θ = 3x. Тогда уравнение принимает вид: sin θ − cos θ = √3/2.

2. Применим тождество для суммы и разности: sin θ − cos θ = √2 sin(θ − π/4). Доказательство в уме: sin(θ − π/4) = sin θ cos(π/4) − cos θ sin(π/4) = (√2/2)(sin θ − cos θ), значит sin θ − cos θ = √2 sin(θ − π/4).

3. Подставим в уравнение: √2 sin(θ − π/4) = √3/2 Откуда sin(θ − π/4) = √3 / (2√2) = √6 / 4.

4. Решим функцию синуса: Пусть α = θ − π/4. Тогда sin α = √6/4. Общие решения: α = arcsin(√6/4) + 2kπ, или α = π − arcsin(√6/4) + 2kπ, где k ∈ Z.

5. Вернемся к θ: θ = α + π/4, то есть

• θ = arcsin(√6/4) + π/4 + 2kπ,
• θ = π − arcsin(√6/4) + π/4 + 2kπ = 5π/4 − arcsin(√6/4) + 2kπ.

6. Вернемся к x, помня, что θ = 3x: 3x = arcsin(√6/4) + π/4 + 2kπ, или 3x = 5π/4 − arcsin(√6/4) + 2kπ.

Следовательно, общие решения: x = [arcsin(√6/4) + π/4]/3 + (2π/3)k, либо x = [5π/4 − arcsin(√6/4)]/3 + (2π/3)k, где k ∈ Z.

Дополнительно (пояснение и числовые значения)

• arcsin(√6/4) ≈ 0.657 радиан.
• Тогда базовые решения на промежутке [0, 2π/3) примерно: x1 ≈ (0.657 + 0.785)/3 ≈ 0.481 рад ≈ 27.6°, x2 ≈ (5π/4 − 0.657)/3 ≈ (3.927 − 0.657)/3 ≈ 1.090 рад ≈ 62.5°.
• Общий период уравнения по x равен 2π/3, поэтому все решения выписываются как выше с суммированием (2π/3)k.

Проверку можно не выполнять отдельно, так как вывод построен через стандартную заміну и идёт от синуса, но если подставить полученные x в θ = 3x, то получим α such that sin α = √6/4, что и требовалось.