Sinx+sin1/π=sin(x+1/π)

Задача: sin x + sin(1/π) = sin(x + 1/π) Цель: понять метод решения и получить все решения. Пошаговое решение 1) Обозначим α = 1/π. Тогда данное уравнение записывается как sin x + sin α = sin(x + α). 2) Перепишем разность правой части: sin(x + α) - sin x = sin α. Используем тождество разности синусов: sin(A) - sin(B) = 2 cos((A + B)/2) sin((A - B)/2). Здесь A = x + α, B = x. Получаем: sin(x + α) - sin x = 2 cos(x + α/2) sin(α/2). Значит уравнение становится 2 cos(x + α/2) sin(α/2) = sin α. 3) Выразим sin α через α/2: sin α = 2 sin(α/2) cos(α/2). Подразумевая, что sin(α/2) ≠ 0 (для α = 1/π это верно), можем поделить обе части на 2 sin(α/2): cos(x + α/2) = cos(α/2). 4) Решаем равенство косинусов: cos(u) = cos(v) значит u = ± v + 2πk, где k ∈ Z. Применяем к u = x + α/2, v = α/2: - Случай 1: x + α/2 = α/2 + 2πk ⇒ x = 2πk. - Случай 2: x + α/2 = -α/2 + 2πk ⇒ x = -α + 2πk. 5) Возвращаем α = 1/π: Все решения: x = 2πk или x = -1/π + 2πk, где k ∈ Z. Дополнительные заметки - Можно записать компактно: x ≡ 0 (mod 2π) или x ≡ -1/π (mod 2π). - В интервале [0, 2π) решения: x = 0 и x = 2π − 1/π. Проверка (пример) - Пусть x = 0: sin 0 + sin(1/π) = sin(1/π), и sin(0 + 1/π) = sin(1/π) — верно. - Пусть x = −1/π: sin(−1/π) + sin(1/π) = −sin(1/π) + sin(1/π) = 0, а sin(−1/π + 1/π) = sin(0) = 0 — верно.