В параллелограмме ABCD отмечены точка M — середина стороны AD и точка N так, что AN:NB=1:2 . Найдите площадь треугольника MNC , если BC = 40 , AB = 30  и sin∠BAD=0,6 .

Решение. Пусть ABCD — параллелограмм. Обозначим: - AB = 30, BC = AD = 40 (противолежащие стороны равны). - sin∠BAD = 0.6. Выберем угол ∠BAD острым, поэтому cos∠BAD = √(1 − 0.6²) = √0.64 = 0.8. Сделаем удобное расположение координат: - A = (0, 0), B = (30, 0). - Вектор AD имеет длину 40 и направление под углом ∠BAD к оси AB, следовательно D = (40 cos∠BAD, 40 sin∠BAD) = (32, 24). - Тогда C = B + D = (30, 0) + (32, 24) = (62, 24). Точки M и N: - M — середина AD: M = ((0+32)/2, (0+24)/2) = (16, 12). - N на AB так, что AN:NB = 1:2. Так как AB = 30, AN = 10, следовательно N = (10, 0). Площадь треугольника MNC по координатам: - Векторы: N − M = (10−16, 0−12) = (−6, −12), C − M = (62−16, 24−12) = (46, 12). - Модуль площадью равен 1/2|det(N−M, C−M)| = 1/2| (−6)(12) − (−12)(46) | = 1/2| −72 + 552 | = 1/2 · 480 = 240. Ответ: площадь треугольника MNC равна 240 квадратных единиц. Проверка (наглядное соотношение): - Площадь параллелограмма ABCD = AB · AD · sin∠BAD = 30 · 40 · 0.6 = 720. - Полученная площадь треугольника MNC равна 240, что составляет 1/3 от площади параллелограмма.