В параллелограмме ABCD отмечены точка M — середина стороны AD и точка N так, что AN:NB=1:2 . Найдите площадь треугольника MNC , если BC = 40 , AB = 30 и sin∠BAD=0,6 .

Решение. Пусть ABCD — параллелограмм. Обозначим:

• AB = 30, BC = AD = 40 (противолежащие стороны равны).
• sin∠BAD = 0.6. Выберем угол ∠BAD острым, поэтому cos∠BAD = √(1 − 0.6²) = √0.64 = 0.8.

Сделаем удобное расположение координат:

• A = (0, 0), B = (30, 0).
• Вектор AD имеет длину 40 и направление под углом ∠BAD к оси AB, следовательно D = (40 cos∠BAD, 40 sin∠BAD) = (32, 24).
• Тогда C = B + D = (30, 0) + (32, 24) = (62, 24).

Точки M и N:

• M — середина AD: M = ((0+32)/2, (0+24)/2) = (16, 12).
• N на AB так, что AN:NB = 1:2. Так как AB = 30, AN = 10, следовательно N = (10, 0).

Площадь треугольника MNC по координатам:

• Векторы: N − M = (10−16, 0−12) = (−6, −12), C − M = (62−16, 24−12) = (46, 12).
• Модуль площадью равен 1/2|det(N−M, C−M)| = 1/2| (−6)(12) − (−12)(46) | = 1/2| −72 + 552 | = 1/2 · 480 = 240.

Ответ: площадь треугольника MNC равна 240 квадратных единиц.

Проверка (наглядное соотношение):

• Площадь параллелограмма ABCD = AB · AD · sin∠BAD = 30 · 40 · 0.6 = 720.
• Полученная площадь треугольника MNC равна 240, что составляет 1/3 от площади параллелограмма.