sin3xcos3x=sin2x

Задача: sin(3x) cos(3x) = sin(2x)

Пошаговое решение:

1. Применим тождество sin A cos A = (1/2) sin(2A). Тогда левая часть будет (1/2) sin(6x).

2. Перепишем уравнение: (1/2) sin(6x) = sin(2x). Умножим на 2: sin(6x) = 2 sin(2x).

3. Обозначим t = 2x. Тогда sin(6x) = sin(3t), sin(2x) = sin(t). Уравнение становится: sin(3t) = 2 sin(t).

4. Используем формулу синуса трёхугольника: sin(3t) = 3 sin t − 4 sin^3 t. Подстановка даёт: 3 sin t − 4 sin^3 t = 2 sin t.

5. Переносим все члены в одну сторону: (3 sin t − 2 sin t) − 4 sin^3 t = 0 sin t − 4 sin^3 t = 0.

6. Вынесем общий множитель sin t: sin t (1 − 4 sin^2 t) = 0.

7. Получили два случая:

   • Case A: sin t = 0.
   • Case B: 1 − 4 sin^2 t = 0 → sin^2 t = 1/4 → sin t = ±1/2.

8. Нижеприведём решения по каждому случаю (t = 2x).

• Case A: sin t = 0 → t = kπ, значит 2x = kπ → x = kπ/2, где k ∈ Z.

• Case B1: sin t = 1/2. t = π/6 + 2πk или t = 5π/6 + 2πk. Соответственно x = π/12 + πk или x = 5π/12 + πk.

• Case B2: sin t = −1/2. t = 7π/6 + 2πk или t = 11π/6 + 2πk. Соответственно x = 7π/12 + πk или x = 11π/12 + πk.

9. Итоговое решение (общее по всем целым k):
   • x = kπ/2,
   • x = π/12 + πk,
   • x = 5π/12 + πk,
   • x = 7π/12 + πk,
   • x = 11π/12 + πk, где k ∈ Z.

Проверка (пример): возьмём x = π/12.

• sin(3x) cos(3x) = sin(π/4) cos(π/4) = (√2/2)(√2/2) = 1/2.
• sin(2x) = sin(π/6) = 1/2. Совпадает.