Sin3xcos3x=sin2x

Задача: sin(3x) cos(3x) = sin(2x) Пошаговое решение: 1) Применим тождество sin A cos A = (1/2) sin(2A). Тогда левая часть будет (1/2) sin(6x). 2) Перепишем уравнение: (1/2) sin(6x) = sin(2x). Умножим на 2: sin(6x) = 2 sin(2x). 3) Обозначим t = 2x. Тогда sin(6x) = sin(3t), sin(2x) = sin(t). Уравнение становится: sin(3t) = 2 sin(t). 4) Используем формулу синуса трёхугольника: sin(3t) = 3 sin t − 4 sin^3 t. Подстановка даёт: 3 sin t − 4 sin^3 t = 2 sin t. 5) Переносим все члены в одну сторону: (3 sin t − 2 sin t) − 4 sin^3 t = 0 sin t − 4 sin^3 t = 0. 6) Вынесем общий множитель sin t: sin t (1 − 4 sin^2 t) = 0. 7) Получили два случая: - Case A: sin t = 0. - Case B: 1 − 4 sin^2 t = 0 → sin^2 t = 1/4 → sin t = ±1/2. 8) Нижеприведём решения по каждому случаю (t = 2x). - Case A: sin t = 0 → t = kπ, значит 2x = kπ → x = kπ/2, где k ∈ Z. - Case B1: sin t = 1/2. t = π/6 + 2πk или t = 5π/6 + 2πk. Соответственно x = π/12 + πk или x = 5π/12 + πk. - Case B2: sin t = −1/2. t = 7π/6 + 2πk или t = 11π/6 + 2πk. Соответственно x = 7π/12 + πk или x = 11π/12 + πk. 9) Итоговое решение (общее по всем целым k): - x = kπ/2, - x = π/12 + πk, - x = 5π/12 + πk, - x = 7π/12 + πk, - x = 11π/12 + πk, где k ∈ Z. Проверка (пример): возьмём x = π/12. - sin(3x) cos(3x) = sin(π/4) cos(π/4) = (√2/2)(√2/2) = 1/2. - sin(2x) = sin(π/6) = 1/2. Совпадает.