(y-7)²

Задача: (y - 7)²

Детальное решение и объяснение (для 8 класса, цель «Понять»):

1. Применяем формулу квадрата бинома

• Для любого a и b верно: (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Здесь a = y, b = 7.
• Получаем: (y − 7)² = y² − 2·y·7 + 7² = y² − 14y + 49.

2. Проверка через умножение (вариант «распаковать скобки»)

• (y − 7)² = (y − 7)(y − 7).
• Применяем дистрибутивность:
  • y · y = y²
  • y · (−7) = −7y
  • (−7) · y = −7y
  • (−7) · (−7) = 49
• Суммируем: y² − 7y − 7y + 49 = y² − 14y + 49.

3. Что это за выражение

• Это совершенный квадрат: (y − 7)² = y² − 14y + 49.
• Нельзя разложить дальше на более простые множители над реальными числами (кроме уже данного квадратичного квадрата).

4. Свойства выражения

• Значение всегда неотрицательно: (y − 7)² ≥ 0 для любых y.
• Минимум достигается, когда y = 7; тогда (7 − 7)² = 0.

5. Быстрая проверка на примерах

• Пусть y = 3: (3 − 7)² = (−4)² = 16; через разложение: 3² − 14·3 + 49 = 9 − 42 + 49 = 16.
• Пусть y = 7: (7 − 7)² = 0; разложение: 7² − 14·7 + 49 = 49 − 98 + 49 = 0.

6. Применение

• Если задача требует разложить, ответ: (y − 7)² = y² − 14y + 49.
• Если задача требует увидеть как «совершенный квадрат», можно оставить в виде (y − 7)².

Если хотите, могу привести дополнительные примеры или график квадратичной функции f(y) = (y − 7)².