реши номер 1.9 1.10 1.11

Ниже подробные решения задач 1.9, 1.10 и 1.11.

1. 1.9 Найдите значения переменной, при которых алгебраическая дробь равна нулю.

a) 3x^2 / [x(x − 2)]

• Нули числителя: 3x^2 = 0 → x = 0.
• Но в точке x = 0 знаменатель: x(x − 2) = 0 · (−2) = 0, то есть выражение не определено.
• Следовательно, решений нет.

б) (x^2 − 4) / (x − 2)

• Заметим, что x^2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Дробь равна нулю тогда, когда числитель нулев, но знаменатель не нулевой.
• После сокращения: x + 2, при условии x ≠ 2.
• Нуль после сокращения: x + 2 = 0 → x = −2. Это допустимо (при x = −2 знаменатель ≶ 0).
• Ответ: x = −2.

в) (2x + 6) / (x − 2)

• Нуль числителя: 2x + 6 = 0 → x = −3.
• При x = −3 знаменатель ≠ 0 (−3 − 2 = −5).
• Ответ: x = −3.

г) x(x + 1) / (x^2 + 1)

• Знаменатель x^2 + 1 > 0 для всех вещественных x, т. е. не равен нулю.
• Нули числителя: x = 0 или x = −1.
• Оба значения допустимы (знаменатель не обнуляется).
• Ответ: x = 0 и x = −1.

2. 1.10 Найдите значение алгебраической дроби

a) (x − 2) / x при x = 3

• (3 − 2) / 3 = 1/3.

б) (t − 7)^2 / (2s) при t = 4, s = −1

• (4 − 7)^2 / (2 · (−1)) = (−3)^2 / (−2) = 9/−2 = −9/2.

в) (y + 6) / (y − 2) при y = 4

• (4 + 6) / (4 − 2) = 10/2 = 5.

г) (x − 5) / (2y + 3)^2 при x = 2, y = −2

• (2 − 5) / (2·(−2) + 3)^2 = (−3) / (−4 + 3)^2 = (−3) / (−1)^2 = −3/1 = −3.

3. 1.11 Найдите значение алгебраической дроби

а) (p + 8)^2 / (p^2 + 4) при p = −2

• ((−2) + 8)^2 / ((−2)^2 + 4) = 6^2 / (4 + 4) = 36/8 = 9/2.

б) (t + 4s)^2 / (2st) при t = 4, s = −1

• (4 + 4·(−1))^2 / (2 · 4 · (−1)) = (4 − 4)^2 / (−8) = 0/−8 = 0.

в) (s^2 − 1) / (−2s) при s = 1/2

• ((1/2)^2 − 1) / (−2 · 1/2) = (1/4 − 1) / (−1) = (−3/4) / (−1) = 3/4.

г) (x − 5y) / (x^2 − y^2) при x = 2, y = −2

• Деноминатор x^2 − y^2 = 4 − 4 = 0, следовательно дробь не определена (значение не существует).

Если нужна дополнительная проверка или альтернативные способы решения — скажите, могу разобрать подробнее.