Упражнение 471 геометрия 8 класс

Ниже подробное решение задачи 471 для 8-го класса.

Задача 471. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

Решение.

Часть а)

1. Рассматриваем треугольники ABC и ACD (у них общая диагональ AC). По условию дано: ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC. Это две пары равных углов, значит треугольники ABC и ACD подобны по признаку AA.

2. Соответствие вершин получается так: A в первом треугольнике соответствует C во втором, C — соответствующая A, значит B соответствует D. Следовательно AB ↔ CD, BC ↔ AD, AC ↔ CA.

3. Из подобия следует масштабный коэффициент k, удовлетворяющий AC/CA = k, то есть k = 1. Значит AB = CD и BC = AD.

4. В выпуклом четырёхугольнике, если обе пары противоположных сторон равны, это параллелограмм. Поэтому ABCD — параллелограмм.

Ответ по (а): ABCD — параллелограмм.

Часть б)

1. Дано: AB ∥ CD и ∠A = ∠C. Обозначим ∠A = ∠DAB (угол при вершине A между DA и AB), ∠C = ∠BCD (угол при вершине C между BC и CD).

2. Используем параллельность AB ∥ CD:

   • Угол ADC образованAD и DC. Так как DC ∥ AB, угол ADC равен углу DAB, то ∠ADC = ∠DAB = ∠A.
   • Угол CBA образован CB и BA. Так как BA ∥ CD, угол CBA равен углу BCD, то ∠CBA = ∠BCD = ∠C.

   Поскольку ∠A = ∠C, имеем ∠ADC = ∠CBA.

   Также из параллельности AB ∥ CD следует ∠ACD = ∠CAB (уголы, образованные AC с параллельными сторонами CD и AB).

3. Таким образом треугольники ADC и CBA равнорукие по двум углам: ∠ADC = ∠CBA и ∠ACD = ∠CAB. Значит они подобны по AA.

4. По подобию соответствие вершин даёт соотношения сторон: DC ↔ BA, AD ↔ BC, AC ↔ CA. Так как AC соответствует самой себе, коэффициент подобия k = 1. Следовательно DC = BA и AD = BC.

5. Обе противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Это значит, что ABCD — параллелограмм.

Ответ по (б): ABCD — параллелограмм.

Итог: в обоих частях задача верна: при данных условиях выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом.