Упражнение 471 геометрия 8 класс

Ниже подробное решение задачи 471 для 8-го класса. Задача 471. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C. Решение. Часть а) 1) Рассматриваем треугольники ABC и ACD (у них общая диагональ AC). По условию дано: ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC. Это две пары равных углов, значит треугольники ABC и ACD подобны по признаку AA. 2) Соответствие вершин получается так: A в первом треугольнике соответствует C во втором, C — соответствующая A, значит B соответствует D. Следовательно AB ↔ CD, BC ↔ AD, AC ↔ CA. 3) Из подобия следует масштабный коэффициент k, удовлетворяющий AC/CA = k, то есть k = 1. Значит AB = CD и BC = AD. 4) В выпуклом четырёхугольнике, если обе пары противоположных сторон равны, это параллелограмм. Поэтому ABCD — параллелограмм. Ответ по (а): ABCD — параллелограмм. Часть б) 1) Дано: AB ∥ CD и ∠A = ∠C. Обозначим ∠A = ∠DAB (угол при вершине A между DA и AB), ∠C = ∠BCD (угол при вершине C между BC и CD). 2) Используем параллельность AB ∥ CD: - Угол ADC образованAD и DC. Так как DC ∥ AB, угол ADC равен углу DAB, то ∠ADC = ∠DAB = ∠A. - Угол CBA образован CB и BA. Так как BA ∥ CD, угол CBA равен углу BCD, то ∠CBA = ∠BCD = ∠C. Поскольку ∠A = ∠C, имеем ∠ADC = ∠CBA. Также из параллельности AB ∥ CD следует ∠ACD = ∠CAB (уголы, образованные AC с параллельными сторонами CD и AB). 3) Таким образом треугольники ADC и CBA равнорукие по двум углам: ∠ADC = ∠CBA и ∠ACD = ∠CAB. Значит они подобны по AA. 4) По подобию соответствие вершин даёт соотношения сторон: DC ↔ BA, AD ↔ BC, AC ↔ CA. Так как AC соответствует самой себе, коэффициент подобия k = 1. Следовательно DC = BA и AD = BC. 5) Обе противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Это значит, что ABCD — параллелограмм. Ответ по (б): ABCD — параллелограмм. Итог: в обоих частях задача верна: при данных условиях выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом.