Прямые, по которым пересекаются плоскости abc и dcb, abd и cda, pdc и abc

Задача про пересечение плоскостей: найти прямые пересечения плоскостей. Даны плоскости: abc, dcb, abd, cda, pdc и abc. Предположим, что точки а, b, c (и аналогично d, p) не лежат на одной прямой, чтобы плоскости задавались нормально. 1) Плоскости abc и dcb - Плоскость abc содержит точки a, b, c. - Плоскость dcb содержит точки d, c, b. - Общие точки этих двух плоскостей: B и C. Любая прямая, проходящая через B и C, лежит в обеих плоскостях. - Значит, линия пересечения abc ∩ dcb есть прямая BC (если плоскости не совпадают; если все четыре точки лежат в одной плоскости, тогда пересечение может быть вся плоскость, но обычно речь идёт именно о линии BC). Ответ: прямая BC. 2) Плоскости abd и cda - Плоскость abd содержит точки a, b, d. - Плоскость cda содержит точки c, d, a. - Общие точки: A и D. Следовательно, пересечение есть прямая AD. Ответ: прямая AD. 3) Плоскости pdc и abc - Плоскость pdc содержит точки p, d, c. - Плоскость abc содержит точки a, b, c. - Общая точка: C (скорее всего). В общем случае две произвольные плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку C, но чтобы назвать эту прямую двумя заданными точками, нужны ещё две общие точки (их нет в явном виде). Поэтому здесь пересечение — это прямая, проходящая через C и лежащая в обеих плоскостях; её направление определяется их нормами. Как найти направление линии пересечения двух плоскостей abc и pdc: - Найдём нормали к плоскостям. - Нормаль к плоскости abc: n1 = (b - a) × (c - a). - Нормаль к плоскости pdc: n2 = (d - c) × (p - c) (или (c - d) × (p - c), любая версия даёт нормаль, одинаково работает). - Направление линии пересечения равно пересечению этих двух плоскостей, то есть направлению: - v = n1 × n2. - Прямая пересечения проходит через точку C (поскольку C лежит в обеих плоскостях). Условно запись линии пересечения: - L: X = C + t v, где t — действительное число, v = ( (b - a) × (c - a) ) × ( (d - c) × (p - c) ). Важно: - Если все четыре или пять точек лежат в одной плоскости, плоскости могут совпадать, и тогда пересечение не является одной линией, а всей плоскостью. В обычной задаче предполагается, что плоскости различны. Итог: - abc ∩ dcb = BC - abd ∩ cda = AD - pdc ∩ abc = прямая через C с направлением v = ( (b - a) × (c - a) ) × ( (d - c) × (p - c) ), т.е. через точку C и направление v (при условии, что плоскости не совпадают).