из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC, у которого угол B=30°, AB=36см, проведена высота CH. Найдите длину отрезка HB

Задача: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в C дан угол B = 30°, AB = 36 см. Проведена высота CH к гипотенузе AB. Найти HB.

Пошаговое решение:

1. Определим стороны треугольника

• Так как угол C = 90°, а угол B = 30°, значит угол A = 60°.
• Гипотенуза AB = 36.
• В 30-60-90 треугольнике стороны относительно гипотенузы пропорциональны: короткая катет (против угла 30°) = c/2, длинный катет (против 60°) = (√3)/2 · c. Здесь:
  • AC против угла B = AB/2 = 36/2 = 18 см.
  • BC против угла A = (√3/2) · AB = (√3/2) · 36 = 18√3 см.

2. Связь высоты CH с разрезанными отрезками гипотенузы Высота CH, опущенная на гипотенузу AB, делит её на AH и HB. Из соотношений подобия треугольников получаем:

• AH = (AC)^2 / AB
• HB = (BC)^2 / AB

3. Вычислим HB

• BC = 18√3, поэтому BC^2 = (18√3)^2 = 324 · 3 = 972.
• HB = BC^2 / AB = 972 / 36 = 27 см.

Проверка (по сумме отрезков гипотенузы):

• AH = (AC)^2 / AB = (18)^2 / 36 = 324 / 36 = 9 см.
• AH + HB = 9 + 27 = 36 = AB, всё согласуется.

Ответ: HB = 27 см.