|x/(3x - 2)| > 3

Задача: |x/(3x − 2)| > 3

1. Учтем область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю.

• 3x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2/3.

2. Из свойства модуля: |A| > 3 эквивалентно A > 3 или A < −3. Здесь A = x/(3x − 2).

Разделим по знаку знаменателя (3x − 2).

• Случай 1: x > 2/3 (3x − 2 > 0)

  a) A > 3: x/(3x − 2) > 3 Умножаем на положительный (3x − 2): x > 3(3x − 2) = 9x − 6 ⇒ −8x > −6 ⇒ x < 3/4 Пересечение с условием x > 2/3 даёт интервал (2/3, 3/4).

  b) A < −3: x/(3x − 2) < −3 Умножаем на положительный (3x − 2): x < −3(3x − 2) = −9x + 6 ⇒ 10x < 6 ⇒ x < 3/5 Но пересечение с x > 2/3 пусто (3/5 < 2/3), значит решений нет.

• Случай 2: x < 2/3 (3x − 2 < 0)

  a) A > 3: x/(3x − 2) > 3 Умножаем на отрицательный (3x − 2) — знак неравенства меняется: x < 3(3x − 2) = 9x − 6 ⇒ −8x < −6 ⇒ x > 3/4 Пересечение с x < 2/3 даёт пусто — решений нет.

  b) A < −3: x/(3x − 2) < −3 Умножаем на отрицательный (3x − 2) — знак неравенства меняется: x > −3(3x − 2) = −9x + 6 ⇒ 10x > 6 ⇒ x > 3/5 Пересечение с x < 2/3 даёт (3/5, 2/3).

3. Объединяем результаты:

• Из первого случая: (2/3, 3/4)
• Из второго случая: (3/5, 2/3)

Итого решение: x ∈ (3/5, 2/3) ∪ (2/3, 3/4)

Примечания:

• Точка x = 2/3 исключается (здесь знаменатель обнуляется).
• Концы интервалов 3/5 и 3/4 не включаются, потому что при них левая часть равна 3 по модулю.