|x/(3x - 2)| > 3

Задача: |x/(3x − 2)| > 3 1) Учтем область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю. - 3x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2/3. 2) Из свойства модуля: |A| > 3 эквивалентно A > 3 или A < −3. Здесь A = x/(3x − 2). Разделим по знаку знаменателя (3x − 2). - Случай 1: x > 2/3 (3x − 2 > 0) a) A > 3: x/(3x − 2) > 3 Умножаем на положительный (3x − 2): x > 3(3x − 2) = 9x − 6 ⇒ −8x > −6 ⇒ x < 3/4 Пересечение с условием x > 2/3 даёт интервал (2/3, 3/4). b) A < −3: x/(3x − 2) < −3 Умножаем на положительный (3x − 2): x < −3(3x − 2) = −9x + 6 ⇒ 10x < 6 ⇒ x < 3/5 Но пересечение с x > 2/3 пусто (3/5 < 2/3), значит решений нет. - Случай 2: x < 2/3 (3x − 2 < 0) a) A > 3: x/(3x − 2) > 3 Умножаем на отрицательный (3x − 2) — знак неравенства меняется: x < 3(3x − 2) = 9x − 6 ⇒ −8x < −6 ⇒ x > 3/4 Пересечение с x < 2/3 даёт пусто — решений нет. b) A < −3: x/(3x − 2) < −3 Умножаем на отрицательный (3x − 2) — знак неравенства меняется: x > −3(3x − 2) = −9x + 6 ⇒ 10x > 6 ⇒ x > 3/5 Пересечение с x < 2/3 даёт (3/5, 2/3). 3) Объединяем результаты: - Из первого случая: (2/3, 3/4) - Из второго случая: (3/5, 2/3) Итого решение: x ∈ (3/5, 2/3) ∪ (2/3, 3/4) Примечания: - Точка x = 2/3 исключается (здесь знаменатель обнуляется). - Концы интервалов 3/5 и 3/4 не включаются, потому что при них левая часть равна 3 по модулю.