Реши задачу: В окружность вписан равносторонний треугольник ABC, и Квадрат DFGK. Угл D=90°, O - центр, и радиус r. Найти S3/S4

Задача понятна: в одной окружности радиуса r вписаны равносторонний треугольник ABC и квадрат DFGK. Нужно найти отношение площадей S3 (площадь треугольника) к S4 (площадь квадрата).

Обозначим R = r — радиус окружности.

1. Равносторонний треугольник ABC, вписанный в окружность радиуса R

• центральный угол между соседними вершинами треугольника равен 360°/3 = 120°.
• сторона треугольника (длина хорды) между двумя вершинами равна a = 2R sin(60°) = 2R · (√3/2) = R√3.
• площадь равностороннего треугольника с стороны a: S3 = (√3/4) a^2 = (√3/4) (R√3)^2 = (√3/4) · 3R^2 = (3√3/4) R^2.

2. Квадрат DFGK, вписанный в окружность радиуса R

• диагональ квадрата равна диаметру окружности: d = 2R.
• сторона квадрата s = d/√2 = (2R)/√2 = √2 R.
• площадь квадрата: S4 = s^2 = (√2 R)^2 = 2R^2.

3. Отношение площадей S3/S4 = [(3√3/4) R^2] / [2 R^2] = (3√3) / 8.

Ответ: S3/S4 = 3√3/8 ≈ 0.6495. Это отношение не зависит от радиуса R.