Деффузия

Ниже даю подробное объяснение по диффузии и пошаговые решения типовых задач. Если хочешь, могу адаптировать под конкретный класс или задание — пришли текст задачи или изображение. Что такое диффузия и основные законы - Диффузия — это неупорядоченное движение молекул из области с высокой концентрацией в область с меньшей концентрацией, т.е. стремление к выравниванию концентраций во всем объёме. - Фик силами: первый закон Фика в одно измерение (1D) - поток веществ (флюкс) J направлен против градиента концентрации: J = -D · dC/dx - D — коэффициент диффузии (единицы: м^2/с). Он зависит от температуры, вязкости среды, размера молекулы и т.д. - Второй закон Фика (уравнение диффузии) - ∂C/∂t = D · ∂²C/∂x² (в одном измерении, для однородного D) - Это описывает, как концентрация C(x,t) меняется во времени из-за диффузии. - В двум и трёх измерениях обобщение: J = -D ∇C, ∂C/∂t = D ∇²C - Примечание: D можно оценить экспериментально, либо теоретически через закон Стокса-Эйнштейна: D = kB T / (6 π η r), где - kB — константа Больцмана, - T — абсолютная температура, - η — вязкость среды, - r — размер частицы. Пошаговые решения типовых задач Задача 1. Стойкое распространение через пластину (одна размерность) Условие: пластина толщиной L имеет концентрацию C0 на одной границе x = 0 и CL на другой границе x = L. Коэффициент диффузии D постоянен. Найдите пространственную зависимость C(x) внутри пластины и ток J через пластину. Шаги решения 1) При стационарном режиме ∂C/∂t = 0 следовательно из уравнения Фика: D d²C/dx² = 0. 2) Интегрируем: d²C/dx² = 0 → dC/dx = A (постоянная), C(x) = A x + B. 3) Применяем граничные условия: - C(0) = C0 → B = C0 - C(L) = CL → A L + B = CL → A = (CL - C0) / L Значит C(x) = (CL - C0) x / L + C0 4) Найдите флюкс (поток): J = -D dC/dx = -D · A = -D · (CL - C0) / L 5) Пример: возьмём C0 = 2 мол/м^3, CL = 0 мол/м^3, L = 0.01 м, D = 1e-9 м^2/с. - A = (0 - 2) / 0.01 = -200 м^-1 - J = -1e-9 · (-200) = 2e-7 мол/(м^2·с) Направление потока идёт из области с большей концентрацией к меньшей. Задача 2. Временная диффузия в полупространстве (x > 0) при постоянной концентрации на поверхности Условие: в начале C(x,0) = 0 для x > 0. Граница: на поверхности x = 0 концентрация C(0,t) = Cs (постоянно поддерживаемая). Найдите C(x,t) для t > 0. Шаги решения 1) Решение уравнения ∂C/∂t = D ∂²C/∂x² в полупространстве с указанными граничными условиями даёт известную форму через функцию эрfc (дополнительная ошибка). Результат: C(x,t) = Cs · erfc( x / (2 √(D t)) ) 2) Пояснение: эрfc(z) = 1 - erf(z); erfc описывает фронт диффузии от поверхности, где C равно Cs. 3) Пример: возьмём Cs = 1 мол/м^3, D = 1e-9 м^2/с, t = 100 с, x = 0.001 м. - аргумент z = x / (2 √(D t)) = 0.001 / (2 √(1e-9 · 100)) ≈ 0.001 / 0.000632 ≈ 1.58 - erfc(1.58) примерно ≈ 0.057 - C ≈ 0.057 мол/м^3 Значение показывает, что в глубине x = 1 мм концентрация ещё небольшая, близкая к нулю. Задача 3. Вещества в стержне: простая оценка D через закон Стокса-Эйнштейна Иногда нужно оценить D для маленьких частиц в вязкой среде при заданной температуре. Условие: частицу радиуса r вращает вязкость η и температура T. Решение: применяем D = kB T / (6 π η r). Пример: взять T ≈ 300 K, η ≈ 1e-3 Па·с (вода), r ≈ 1e-9 м (молекула воды как пример). Тогда D примерно равен D ≈ (1.38e-23 J/K · 300 K) / (6 π · 1e-3 Pa·s · 1e-9 m) ≈ 2e-9 м^2/с (порядка величин). Эта формула обеспечивает оценку D, когда нужно быстро понять порядок величин. Краткие подсказки и часто встречающиеся ловушки - Единицы: J (флюкс) в молях на м^2·с, C в молях на м^3, D в м^2/с. При расчетах следите за единицами: D · dC/dx имеет размерность мол/(м^2·с). - Для стационарной задачи d²C/dx² = 0, поэтому C линейна по x. - Для неоднородной среды или переменного D задача усложняется, чаще всего требует численного метода или разложения по собственным функциям. - Если задача подразумевает дезинтеграцию по времени, чаще всего используют решение диффузии в частях: субпространство, краевые условия, метод разделения переменных или ряд Фурье. Готов разобрать конкретную задачу Если пришлёшь текст задачи или фото с условиями (и укажешь, уровень класса — средней школы, высшая школа и т. п.), дам детальное пошаговое решение именно под неё. Также могу привести решения под конкретный формат экзамена (ЕГЭ, олимпиада и т. п.).