В треугольнике ABC AB=3 BC=2 AC=x выразите через тригонометрические функции углов Альфа и бета отрезок AC который равен x

Задача: в треугольнике ABC стороны заданы как AB = 3, BC = 2, AC = x. Обозначим α = угол A, β = угол B. Нужно выразить α и β через тригонометрические функции от x. План решения: - Обозначения по стандартной схеме: - a = BC = 2 (против угла A), - b = AC = x (против угла B), - c = AB = 3 (против угла C). - Применим Закон косинусов: - для угла A: a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A, поэтому cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2bc). - для угла B: b^2 = a^2 + c^2 − 2ac cos B, поэтому cos B = (a^2 + c^2 − b^2) / (2ac). - Подстановка значений: - cos α = cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2bc) = (x^2 + 3^2 − 2^2) / (2 · x · 3) = (x^2 + 9 − 4) / (6x) = (x^2 + 5) / (6x). - cos β = cos B = (a^2 + c^2 − b^2) / (2ac) = (2^2 + 3^2 − x^2) / (2 · 2 · 3) = (4 + 9 − x^2) / 12 = (13 − x^2) / 12. - Выражения самих углов через арккосинус: - α = arccos((x^2 + 5) / (6x)). - β = arccos((13 − x^2) / 12). - Дополнительно: можно вывести синусы через косинусы (для проверки или дальнейших вычислений): - sin α = sqrt(1 − ((x^2 + 5) / (6x))^2). - sin β = sqrt(1 − ((13 − x^2) / 12)^2). - Примечание по допустимости x: из неравенств треугольника 1 < x < 5. В этом диапазоне выражения для cos α и cos β лежат в промежутке [-1, 1], и углы α, β существуют и лежат в диапазоне (0, π). Пример проверки (наглядно): - Пусть x = 3. Тогда cos α = (9 + 5) / (18) = 14/18 = 7/9, α ≈ 39.1°. - А cos β = (13 − 9) / 12 = 4/12 = 1/3, β ≈ 70.5°. Все в пределах допустимого диапазона.