сколько сторон имеет выпуклый многоугольник,каждый угол которого равен: а) 90° б) 60° в) 120° г) 108°

Решение на базе формулы для равнозагнутого (равноугольного) выпуклого многоугольника.

• Пусть многоугольник имеет n сторон и каждый его угол равен α.
• Сумма внутренних углов равна (n − 2)·180°. Так как углы равны, каждый угол α = [(n − 2)·180°] / n.
• Из этого следует: α = 180° − 360°/n, значит 360°/n = 180° − α и n = 360° / (180° − α).
• Также можно использовать сумму внешних углов: каждый внешний угол β = 180° − α, и n·β = 360°, то есть n = 360° / (180° − α). Всё равно получается одно и то же.

Теперь для каждого α:

а) α = 90°

• n = 360 / (180 − 90) = 360 / 90 = 4
• Ответ: 4 стороны (квадрат).

б) α = 60°

• n = 360 / (180 − 60) = 360 / 120 = 3
• Ответ: 3 стороны (равносторонний треугольник).

в) α = 120°

• n = 360 / (180 − 120) = 360 / 60 = 6
• Ответ: 6 сторон (правильный шестиугольник).

г) α = 108°

• n = 360 / (180 − 108) = 360 / 72 = 5
• Ответ: 5 сторон (правильный пятыугольник).

Итог:

• а) 4 стороны
• б) 3 стороны
• в) 6 сторон
• г) 5 сторон

Примечание: такие значения углов действительно возможны для выпуклого равнолегого (равноугольного) многоугольника: 60° — треугольник, 90° — квадрат, 108° — правильный пятиугольник, 120° — правильный шестиугольник.