(a+b)² - (a-b)² = 4ab докажите тождество

Цель: объяснить и доказать тождество (a+b)² - (a-b)² = 4ab.

Способ 1. Раскрыть скобки

1. Раскроем каждое квадратирование:

• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (a-b)² = a² - 2ab + b²

2. Вычислим разность: (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²) = a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²

3. Упростим: a² - a² = 0, b² - b² = 0, 2ab + 2ab = 4ab

4. Получаем: (a+b)² - (a-b)² = 4ab. Доказано.

Способ 2. Разность квадратов

1. Применим формулу разности квадратов: x² - y² = (x - y)(x + y) с x = a+b, y = a-b.
2. Тогда: (a+b)² - (a-b)² = [(a+b) - (a-b)] · [(a+b) + (a-b)]
3. Вычислим каждую скобку:

• (a+b) - (a-b) = a + b - a + b = 2b
• (a+b) + (a-b) = a + b + a - b = 2a

4. Произведение: 2b · 2a = 4ab

Итак, тождество верно: (a+b)² - (a-b)² = 4ab для любых чисел a, b. Примеры подстановки можно привести по желанию для проверки. Также можно заметить обобщение: (x+y)² - (x-y)² = 4xy.