Трехзнасные числа

Похоже, вы имеете в виду «трёхзначные числа». Ниже коротко по теме и примеры задач, чтобы подтянуть тему к экзамену. Если нужно что-то конкретнее — скажите.

Определение и базовые факты

• Трёхзначное число имеет вид N = 100a + 10b + c, где разряды:
  • a — сотни: a ∈ {1,2,...,9} (не может быть 0)
  • b — десятки: b ∈ {0,1,...,9}
  • c — единицы: c ∈ {0,1,...,9}
• Всего трёхзначных чисел: 9 вариантов на первый разряд × 10 на второй × 10 на третий = 900 чисел (от 100 до 999 включительно).

Типичные задачи и ответы

• Все цифры различны:
  • a: 9 вариантов (1–9)
  • b: 9 вариантов (0–9, но не равен a)
  • c: 8 вариантов (0–9, но не равны a и b)
  • Итого: 9 × 9 × 8 = 648.
• Все цифры равны:
  • 111, 222, ..., 999 — 9 чисел.
• Точно две цифры совпадают (но не все три):
  • Общее число трёхзначных чисел 900 минус 648 минус 9 = 243.
• Числа в порядке строго возрастающем (a < b < c):
  • Никакой нуля в разряде сотен, поэтому выбираем три разных цифры из 1–9 и расставляем по возрастанию.
  • Количество: C(9,3) = 84.
• Числа в порядке строго убывающем (a > b > c):
  • Можно посчитать как сумма по сотням: для a = 1..9 выберите две меньших цифры из {0,...,a-1}. Итого sum_{a=1..9} C(a,2) = C(10,3) = 120.
• Палиндромы (число вида ABA):
  • a может быть 1–9 (9 вариантов), b — 0–9 (10 вариантов). Итого 9 × 10 = 90.
• Числа, делящиеся на 3:
  • Сколько трёхзначных чисел делится на 3? floor(999/3) - floor(99/3) = 333 - 33 = 300.
• Числа, заканчивающиеся на 5:
  • c = 5, а может быть 1–9, b — 0–9: 9 × 10 = 90.
• Числа, начинающиеся с чётной цифры:
  • a ∈ {2,4,6,8} — 4 варианта; b, c — по 10 вариантов. Всего 4 × 10 × 10 = 400.
• Числа, где сумма первых двух цифр больше третьей, и т.д. (пример задач):
  • Сложные условия можно решать перебором по разрядам или комбинаторно через ограничение на a, b, c.

Пример задач на повторение и закрепление

1. Сколько трёхзначных чисел оканчивается на 7?

• c = 7, a ∈ {1,...,9} (9 вариантов), b ∈ {0,...,9} (10 вариантов) → 9 × 10 = 90.

2. Сколько трёхзначных чисел начинаются с чётной цифры?

• a ∈ {2,4,6,8} (4 варианта), b ∈ {0,...,9} (10 вариантов), c ∈ {0,...,9} (10 вариантов) → 4 × 10 × 10 = 400.

3. Сколько трёхзначных чисел имеют цифры в неубывающем порядке (a ≤ b ≤ c)?

• Здесь надо учитывать ограничения по сотне: a ≥ 1. Можно посчитать через комбинаторику с повторениями, но обычно используют разрядный подход или перебор. Хотите — могу привести детальное решение.

Как двигаться дальше

• Сообщите, какие именно задачи или темы по трёхзначным числам вас интересуют: подсчёт по условиям (различны/равны/палиндромы и т. п.), делимость, свойства цифр, задача на сумму цифр и т. д.
• Могу подготовить набор задач к экзамену с подробными решениями и пояснениями.

Готов продолжить: скажите, какая именно часть теории или какие примеры вам нужны, или пришлите конкретную задачу, и я разберу её шаг за шагом.