х(х+1)(х+5)(х+6)+96=0
Задача: решить уравнение x(x+1)(x+5)(x+6) + 96 = 0.
Разбор по шагам (для понимания):
- Приведём к удобной форме x(x+1)(x+5)(x+6) можно записать как [x(x+6)]·[(x+1)(x+5). Вычислим:
- x(x+6) = x^2 + 6x
- (x+1)(x+5) = x^2 + 6x + 5
Обозначим t = x^2 + 6x. Тогда уравнение становится t(t + 5) + 96 = 0 то есть t^2 + 5t + 96 = 0.
Решим квадратное уравнение относительно t D = 5^2 - 4·1·96 = 25 - 384 = -359 < 0. Это значит: для действительных t решений нет. Следовательно, у исходного уравнения нет действительных корней (для реальных x).
Но найдём корни в комплексной области Корни уравнения t^2 + 5t + 96 = 0: t1,2 = (-5 ± i√359) / 2.
Найдём x из t = x^2 + 6x Для каждого t решаем квадратичное уравнение: x^2 + 6x - t = 0 → x = [-6 ± √(36 + 4t)]/2 = -3 ± √(9 + t).
Подставим t1 и t2:
Для t1 = (-5 + i√359)/2: 9 + t1 = (13 + i√359)/2, следовательно x = -3 ± √((13 + i√359)/2).
Для t2 = (-5 - i√359)/2: 9 + t2 = (13 - i√359)/2, следовательно x = -3 ± √((13 - i√359)/2).
Итого, четыре комплексных корня: x1 = -3 + √((13 + i√359)/2), x2 = -3 - √((13 + i√359)/2), x3 = -3 + √((13 - i√359)/2), x4 = -3 - √((13 - i√359)/2).
Приближённые значения (для ориентира): x ≈ 0 ± 1.5811 i и x ≈ -6 ± 1.5811 i.
Вывод:
- Действительных корней уравнение не имеет.
- Четыре комплексных корня приведены выше (можно записать в форме с комплексными квадратными корнями или приблизительно как указано).
