сократите дробь 25x^2+10x+1/25x^2-1 и найдите ее значение при x=0.6

Цель: понять и подробно объяснить.

Задача: сократить дробь (25x^2 + 10x + 1) / (25x^2 − 1) и найти ее значение при x = 0.6.

Шаг 1. Факторизация числителя и знаменателя

• числитель: 25x^2 + 10x + 1 = (5x + 1)^2
• знаменатель: 25x^2 − 1 = (5x − 1)(5x + 1)

Шаг 2. Сокращение Дробь равна (5x + 1)^2 / [(5x − 1)(5x + 1)] = (5x + 1) / (5x − 1), при условии, что можно cancelar общий множитель (5x + 1), то есть x ≠ −0.2. Также в исходной дроби знаменатель не должен равняться нулю: x ≠ ±0.2. Иными словами, для допустимых значений x получаем: (25x^2 + 10x + 1) / (25x^2 − 1) = (5x + 1) / (5x − 1), при x ≠ −0.2 и x ≠ 0.2.

Шаг 3. Подстановка x = 0.6

• Можно подставить в сокращённую форму: 5x = 3, значит (5x + 1)/(5x − 1) = (3 + 1)/(3 − 1) = 4/2 = 2.
• Либо посчитать напрямую в исходной дроби:
  • числитель: 25x^2 + 10x + 1 = 25*(0.6)^2 + 10*(0.6) + 1 = 25*0.36 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
  • знаменатель: 25x^2 − 1 = 9 − 1 = 8
  • значение: 16/8 = 2

Ответ: значение дроби при x = 0.6 равно 2.

Замечание по домену: исходная дробь неопределена при x = ±0.2 (происходит 0/0). Для x = 0.6 это не относится, поэтому ответ корректен.