у=√4х-5х²

Вот подробное решение задачи y = sqrt(4x - 5x^2) (почему так и что это значит).

1. Область определения (проверяем под radicalом)

• Нужно, чтобы выражение под корнем было неотрицательным: 4x - 5x^2 >= 0.
• Приведем к стандартному виду: -5x^2 + 4x >= 0.
• Вынося общий множитель: x(4 - 5x) >= 0.
• Критические точки: x = 0 и x = 4/5.
• Анализ знаков по промежуткам даёт: область определения x ∈ [0, 4/5].
• Значения за пределами области не дают действительных значений y.

2. Максимум внутри корня и максимум самой функции

• Функция внутри квадратичная: f(x) = -5x^2 + 4x, парабола с ветвями вниз, максимум в вершине.
• Координата вершины для ax^2 + bx + c (здесь a = -5, b = 4): x_v = -b/(2a) = -4/(2·-5) = 0.4 = 2/5.
• Значение в вершине: f(0.4) = -5(0.4)^2 + 4(0.4) = -5·0.16 + 1.6 = -0.8 + 1.6 = 0.8 = 4/5.
• Так как y = sqrt(f(x)) и sqrt — возрастающий на неотрицательных, максимум y достигается там же: y_max = sqrt(4/5) = 2/√5 = (2√5)/5 ≈ 0.8944.

3. Значения y на границах области

• При x = 0: под корнем 0, значит y = 0.
• При x = 4/5: под корнем 0, значит y = 0.
• Таким образом, минимальное y = 0, достигается на концах области.

4. Диапазон значений y (вместо области x)

• Так как внутри корня принимает значения в промежутке [0, 4/5], то y принимает значения в [0, sqrt(4/5)].
• Иными словами: 0 ≤ y ≤ sqrt(4/5) (максимум y = sqrt(4/5) при x = 2/5).

5. Дополнительный способ оглянуть через дискриминант (для проверки)

• Пусть y = sqrt(4x - 5x^2) эквивалентно y^2 = 4x - 5x^2.
• Перепишем как 5x^2 - 4x + y^2 = 0 как квадратическое уравнение по x.
• Для существования решений по x дискриминант должен быть неотрицателен: Δ = (-4)^2 - 4·5·y^2 = 16 - 20y^2 ≥ 0.
• Отсюда y^2 ≤ 4/5, то есть 0 ≤ y ≤ sqrt(4/5). Совпадает с предыдущим выводом.

Итого

• Область определения: x ∈ [0, 4/5].
• Максимум y: y_max = sqrt(4/5) при x = 2/5.
• Диапазон значений функции: y ∈ [0, sqrt(4/5)].
• Можно добавить график: печальная “половина параболы” под корнем, затем извлекаем корень — получится выпукло-огибающая вверх форма, достигающая max в x = 2/5.