Дано натуральное число n>1n>1. Доска 2n×2n2n×2n называется разноцветной, если ее клетки окрашены в черный и белый цвет таким образом, что в каждой горизонтали и каждой вертикали ровно по nn черных и белых клеток; к примеру, обычная шахматная доска --- разноцветная. Разрешается менять местами любые два столбика или строки. Каждую ли разноцветную доску можно превратить такими действиями в обычную шахматную доску?

Коротко: нет, не каждую разноцветную доску можно превратить в обычную шахматную с помощью перестановок строк и столбцов. Это возможно только в особом случае, когда устроение черных клеток имеет очень сильную структурную форму. Детальное решение и объяснение 1) Перевод задачи в графовую картину - Представим доску как двудольный граф G. - Левые вершины соответствуют строкам (всего 2n). - Правые вершины соответствуют столбцам (всего 2n). - Ребро между строкой i и столбцом j есть тогда, когда клетка (i, j) черная. - В условии каждой строке и каждому столбцу должно быть по n черных клеток, значит степень каждой вершины равна n. G — двудольный регулярный граф степени n на 4n вершинах. 2) Что значит «превратить» в шахматную доску - Обычная шахматная раскраска 2n × 2n, если считать черную клетку как 1, имеет вид: - черные клетки образуют две независимые части: все черные клетки слева в одном блоке соседствуют со всем столбцом справа в другом блоке, и наоборот. - граф, соответствующий такой раскраске, состоит из двух независимых компонентов, каждый из которых есть полноценное bipartite графическое соединение K_{n,n}: - один компонент: n строк (первой группы) связаны со всеми n столбцами другой группы, - второй компонент: оставшиеся n строк связаны со всеми оставшимися n столбцами. Грубо говоря, граф разобщён на две части и в каждой части у нас полное соединение между соответствующими строками и столбцами. 3) Свойства перестановок строк и столбцов - Перестановки строк и столбцов соответствуют переименованию вершин в графе G (одного и того же типа вершин: строки остаются строками, столбцы — столбцами). - Такие перестановки не изменят структуру связности графа: число компонент и их внутренняя структура остаются теми же. - Следовательно, если изначальная раскраска не порождает граф, из которого можно получить две компоненты K_{n,n}, её нельзя превратить в шахматную раскраску ни одной последовательностью перестановок. 4) Вывод: когда это возможно, а когда — нет - Необходимо и достаточно условие: после таких перестановок граф G должен быть изоморфен разбиению на две компоненты, каждая из которых равна K_{n,n}. То есть доска должна быть разложима на две группы строк по n и две группы столбцов по n так, чтобы черные клетки образовывали ровно две полного двудольных сетей между соответствующими группами. - Если граф G связный или имеет иную структуру (например, образует цепь, цикл и т. п.), превратить его в шахматную доску невозможно. 5) Простейший контрпример (для наглядности) - Пусть n = 2, возьмём 4×4 доску: 1100 0110 0011 1001 - Каждая строка и каждый столбец имеет по 2 черные клетки. - Граф G для этой раскраски можно проверить на связность: можно пройти путь Row1 – Col1 – Row4 – Col4 – Row3 – Col3 – Row2 – Col2 – Row1 и вернуться обратно. То есть граф связный. - В шахматной раскраске граф имеет две компоненты: одна связана только между двумя строками и двумя столбцами одной пары, другая — между другой парой. Такого разбиения здесь нет, граф не распадается на две K_{2,2}, значит превратить данную раскраску в шахматную с помощью перестановок строк и столбцов невозможно. 6) Вывод решения - Нет, не каждую разноцветную доску можно привести к обычной шахматной доске. - Допустимо это только в том случае, когда соответствующий граф G (строки — левая часть, столбцы — правая часть, черные клетки — рёбра) состоит ровно из двух независимых компонентов, каждая из которых есть K_{n,n}. В этом случае можно подобрать перестановку строк так, чтобы одна группа строк шла первой половиной, другая — второй половиной, и аналогично с столбцами; получим шахматный рисунок. - Чтобы проверить конкретную доску: постройте граф G, посмотрите на его связность и на то, образуют ли существующие компоненты полноценные K_{n,n}. Если да — можно получить шахматку, если нет — нельзя. Если хотите, могу привести пошаговый алгоритм для проверки на конкретной доске (на любом n): построение графа, поиск компонент, проверка на полноту связей внутри каждой компоненты и равенство размеров сторон.