площадь треугольника АВС, DE- средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE

Задача предполагает, что D и E — середины AB и AC соответственно (DE — средняя линия треугольника ABC). Нужно найти площадь треугольника CDE.

Идея: показать, что площадь треугольника CDE равна четверти площади треугольника ABC.

Пошаговое решение (посредством координат):

• Разместим треугольник так: A = (0,0), B = (2,0), C = (x,y) (y ≠ 0). Тогда D — середина AB: D = (1,0). E — середина AC: E = (x/2, y/2).

• Площадь треугольника ABC: S_ABC = 1/2 |det(B−A, C−A)| = 1/2 |det((2,0), (x,y))| = 1/2 |2y| = |y|.

• Площадь треугольника CDE: Используем формулу площадей через детерминант для треугольника с вершинами C(x,y), D(1,0), E(x/2, y/2): S_CDE = 1/2 |det(D−C, E−C)| = 1/2 |det((1−x, −y), (x/2 − x, y/2 − y))|. Вычислим: D−C = (1−x, −y), E−C = (−x/2, −y/2). Det = (1−x)(−y/2) − (−y)(−x/2) = −(1−x) y/2 − yx/2 = −y/2. Поэтому S_CDE = 1/2 · |−y/2| = |y|/4.

• Соотношение: S_CDE = (|y|)/4 = S_ABC/4.

Ответ: площадь треугольника CDE равна одной четверти площади треугольника ABC. То есть S(CDE) = S(ABC) / 4.