В параллелограмме ABCD периметры треугольников ABC и ABD равны соответственно 22 и 20 а сумма длин диагоналей параллелограмма 18. найдите периметр параллелограмма

Решение

Обозначим стороны параллелограмма так: AB = a, BC = b, угол между ними A = θ.

Длины диагоналей:

• AC = sqrt(a^2 + b^2 + 2ab cos θ)
• BD = sqrt(a^2 + b^2 − 2ab cos θ)

Даны периметры треугольников:

• Площадь ABC: AB + BC + AC = a + b + AC = 22
• Площадь ABD: AB + BC + BD = a + b + BD = 20

Сумма диагоналей: AC + BD = 18

Сложим первые две формулы: (a + b) + AC + (a + b) + BD = 22 + 20 2(a + b) + (AC + BD) = 42

Подставим AC + BD = 18: 2(a + b) + 18 = 42 ⇒ 2(a + b) = 24 ⇒ a + b = 12

Периметр параллелограмма равен 2(a + b) = 24.

Дополнительная проверка: из условий имеем AC = 22 − (a + b) = 10, BD = 20 − (a + b) = 8, и сумма диагоналей будет 18, что согласуется с полученными значениями и возможностью существования такого параллелограмма.

Ответ: периметр параллелограмма равен 24.