Решите

Ниже подробные решения каждого уравнения (с учетом того, что неизвестны предмет и класс). Для всех уравнений указаны доменные ограничения. a) 2/(x−3) = 7/(x+1) - Домены: x ≠ 3, x ≠ −1 - Перекрестное умножение: 2(x+1) = 7(x−3) - Раскрываем скобки: 2x + 2 = 7x − 21 - Приводим к одному модулю: −5x = −23 → x = 23/5 - Проверка: левая сторона = 2/(23/5 − 3) = 2/(8/5) = 5/4; правая сторона = 7/(23/5 + 1) = 7/(28/5) = 5/4. Совпадает. - Ответ: x = 23/5 b) x/(2x+6) = 2/x - Домены: x ≠ 0, x ≠ −3 - Перекрестное умножение: x·x = 2(2x+6) - Пусть: x^2 = 4x + 12 → x^2 − 4x − 12 = 0 - Решение квадратного уравнения: Δ = 16 + 48 = 64, x = (4 ± 8)/2 → x = 6 или x = −2 - Проверка: для x = 6: 6/(18) = 1/3; 2/6 = 1/3. Для x = −2: −2/(2·−2+6) = −2/2 = −1; 2/(−2) = −1. Оба решения допустимы. - Ответ: x = 6 или x = −2 c) 3x/(3 − x) + 9/(x − 3) = x - Замечаем: 3 − x = −(x − 3). Приводим левая часть: 3x/(3 − x) = −3x/(x − 3) LHS = [−3x + 9] / (x − 3) = −3(x − 3)/(x − 3) = −3, при x ≠ 3 - Тогда уравнение превращается в: −3 = x → x = −3 - Домены: x ≠ 3 (никаких дополнительных ограничений) - Проверка: при x = −3 левая часть = 3(−3)/(3 − (−3)) + 9/(−3 − 3) = −9/6 + 9/(−6) = −3/2 − 3/2 = −3; правая часть = −3. Совпадает. - Ответ: x = −3 d) x/(x−2) + 7/(x+2) = 8/(x^2 − 4) - Домены: x ≠ 2, x ≠ −2 - Приведём к общему знаменателю (x^2 − 4) = (x−2)(x+2): x/(x−2) = x(x+2)/(x^2−4), 7/(x+2) = 7(x−2)/(x^2−4) Сумма числителей: x(x+2) + 7(x−2) = x^2 + 2x + 7x − 14 = x^2 + 9x − 14 - Уравнение: [x^2 + 9x − 14]/(x^2 − 4) = 8/(x^2 − 4) - Умножаем на (x^2 − 4): x^2 + 9x − 14 = 8 → x^2 + 9x − 22 = 0 - Решение: Δ = 9^2 − 4·1·(−22) = 81 + 88 = 169, x = (−9 ± 13)/2 x = 2 или x = −11 - Но x ≠ 2 (домены), следовательно остаётся x = −11 - Проверка: для x = −11 левая часть = (−11)/(−13) + 7/(−9) = 11/13 − 7/9 = (99 − 91)/117 = 8/117; правая часть = 8/(121 − 4) = 8/117. Совпадает - Ответ: x = −11 Итого: - a) x = 23/5 - b) x = 6 или x = −2 - c) x = −3 - d) x = −11