A_n=9-4n

Задача: A_n = 9 - 4n Цель: понять и получить подробное объяснение. Что это значит: - Это явная формула для n-го члена последовательности. Значение A_n зависит линейно от n. - Шаг последовательности (разность между соседними членами) постоянный: d = A_{n+1} - A_n. Пошаговое решение и объяснения 1) Найдем шаг и ориентируемся на индексацию - Выражение A_n = 9 - 4n явно линейно по n, значит это арифметическая прогрессия. - Разность d между соседними членами: A_{n+1} - A_n = [9 - 4(n+1)] - [9 - 4n] = -4. То есть каждый последующий член на 4 меньше предыдущего. 2) Первый член при стандартной индексации n ≥ 1 - Если считать, что последовательность начинается с n = 1, то: A_1 = 9 - 4·1 = 5. A_2 = 9 - 4·2 = 1. A_3 = 9 - 4·3 = -3. - Общий член для арифметической прогрессии записывается как: A_n = a_1 + (n - 1)d. Здесь a_1 = 5 и d = -4. Подставим: A_n = 5 + (n - 1)(-4) = 5 - 4n + 4 = 9 - 4n. Это совпадает с заданной формулой, значит выражение корректно. 3) Альтернативная индексация (n ≥ 0) - Если считать, что n начинается с 0, то: A_0 = 9. A_1 = 5. A_2 = 1. - В этом случае общая формула по той же идее остаётся A_n = a_0 + n d, где a_0 = 9 и d = -4: A_n = 9 + n(-4) = 9 - 4n. - Важно помнить, что при n ≥ 0 первый член равен 9. 4) Проверка на конкретных примерах - При индексировании с n ≥ 1: A_1 = 5, A_2 = 1, A_3 = -3, A_4 = -7, … - При индексировании с n ≥ 0: A_0 = 9, A_1 = 5, A_2 = 1, A_3 = -3, … 5) Сумма первых n членов (дополнительно, полезно для понимания) - Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: S_n = n/2 · (a_1 + a_n), где a_1 = 5 (при n ≥ 1) и a_n = 9 - 4n. Подставим: S_n = n/2 · [5 + (9 - 4n)] = n/2 · (14 - 4n) = n(7 - 2n). - Пример: для n = 3, первые три члена: 5, 1, -3. Их сумма: 5 + 1 - 3 = 3. По формуле: S_3 = 3(7 - 2·3) = 3(1) = 3. Совпадает. 6) Ответы на вероятные вопросы - Нужна ли конкретная форма для n-й позиции? Да, A_n = 9 - 4n во всех стандартных случаях (независимо от того, начинается ли n с 0 или с 1, но корректно подберите a_1 и d). - Какой у разности? d = -4, то есть каждый следующий член меньше предыдущего на 4. Итог - Общий член последовательности: A_n = 9 - 4n. - При нумерации с n = 1: A_1 = 5, A_2 = 1, A_3 = -3, … - При нумерации с n = 0: A_0 = 9, A_1 = 5, A_2 = 1, … - Сумма первых n членов: S_n = n(7 - 2n) (для n ≥ 1).